试题

（2008·永春县）在平面直角坐标系中，直线y=-

1

2

x+6与x轴、y轴分别交于B、C两点．
（1）直接写出B、C两点的坐标；
（2）直线y=x与直线y=-

1

2

x+6交于点A，动点P从点O沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t秒（即OP=t）．过点P作PQ∥x轴交直线BC于点Q．
①若点P在线段OA上运动时（如图1），过P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为N、M，设矩形PQMN的面积为S，写出S和t之间的函数关系式，并求出S的最大值．
②若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当运动时间t为何值时，过P、Q、O三点的圆与x轴相切？

解：（1）令x=0，则y=6；令y=0，则x=12，
∴B（12，0），C（0，6）．

（2）①点P在y=x上，OP=t，点P坐标（

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2

t，

2

2

t），点Q坐标（12-

2

t，

2

2

t）．
PQ=12-

2

t-

2

2

t=12-

3 2

2

t，PN=

2

2

t．
S=PQ·PN=-1.5t²+6

2

t=-1.5（t²-4

2

t+8）+12=-1.5（t-2

2

）²+12．
当t=2

2

时，S的最大值为12．
②若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，过P、Q、O三点的圆与x轴相切，
则圆心在y轴上，且y轴垂直平分PQ．
∴∠POC=45°，
∴∠QOC=45°．
∴

2

t-12=

2

2

t，
∴t=12

2

．
解：（1）令x=0，则y=6；令y=0，则x=12，
∴B（12，0），C（0，6）．

（2）①点P在y=x上，OP=t，点P坐标（

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t，

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t），点Q坐标（12-

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t，

2

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t）．
PQ=12-

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t-

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t=12-

3 2

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t，PN=

2

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t．
S=PQ·PN=-1.5t²+6

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t=-1.5（t²-4

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t+8）+12=-1.5（t-2

2

）²+12．
当t=2

2

时，S的最大值为12．
②若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，过P、Q、O三点的圆与x轴相切，
则圆心在y轴上，且y轴垂直平分PQ．
∴∠POC=45°，
∴∠QOC=45°．
∴

2

t-12=

2

2

t，
∴t=12

2

．