试题

（2007·乌鲁木齐）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，6），点B坐标为(2

3

，2)，BC∥y轴且与x轴交于点C，直线OB与直线AC相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）若以点O为圆心，OP的长为半径作⊙O（如图2），求证：直线AC与⊙O相切于点P；
（3）过点B作BD∥x轴与y轴相交于点D，以点O为圆心，r为半径作⊙O，使点D在⊙O内，点C在⊙O外；以点B为圆心，R为半径作⊙B，若⊙O与⊙B相切，试分别求出r，R的取值范围．

（1）解：设直线OB的解析式为y=k₁x，
∵点B（2

3

，2）在直线OB上，
∴2=2

3

k1k1=

3

3

，
∴直线OB的解析式为y=

3

3

x，
设直线AC的解析式为y=k₂x+6，
∵点C（2

3

，0）在直线AC上，
∴0=2

3

k2+6，k2=-

3

，
∴直线AC的解析式为y=-

3

x+6，
直线AC与直线OB的交点P满足方程组

y= 3 3 x y=- 3 x+6

，
解得

x= 3 3 2 y= 3 2

，
∴点P的坐标为(

3 3

2

，

3

2

)；

（2）证明：∵tan∠OAC=

OC

OA

=

2 3

6

=

3

3

，
∴∠OAC=30°，∠ACO=60°，
又∵tan∠BOC=

BC

OC

=

2

2 3

=

3

3

，
∴∠BOC=30°又∠ACO=60°，
∴∠OPC=90°，
故以OP为半径的⊙O与直线AC相切于点P；

（3）解：∵D点坐标为（0，2），C点坐标为（2

3

，0），
要使点D在⊙O内，点C在⊙O外，则⊙O的半径r应满足2＜r＜2

3

，
∵在Rt△BOC中，∠BOC=30°，BC=2，
∴OB=4，
∵⊙O与⊙B相切，故有R+r=4或R-r=4，
从而有R=4-r或R=4+r，
∵2＜r＜2

3

，
∴4-2

3

＜R＜2或6＜R＜4+2

3

．
（1）解：设直线OB的解析式为y=k₁x，
∵点B（2

3

，2）在直线OB上，
∴2=2

3

k1k1=

3

3

，
∴直线OB的解析式为y=

3

3

x，
设直线AC的解析式为y=k₂x+6，
∵点C（2

3

，0）在直线AC上，
∴0=2

3

k2+6，k2=-

3

，
∴直线AC的解析式为y=-

3

x+6，
直线AC与直线OB的交点P满足方程组

y= 3 3 x y=- 3 x+6

，
解得

x= 3 3 2 y= 3 2

，
∴点P的坐标为(

3 3

2

，

3

2

)；

（2）证明：∵tan∠OAC=

OC

OA

=

2 3

6

=

3

3

，
∴∠OAC=30°，∠ACO=60°，
又∵tan∠BOC=

BC

OC

=

2

2 3

=

3

3

，
∴∠BOC=30°又∠ACO=60°，
∴∠OPC=90°，
故以OP为半径的⊙O与直线AC相切于点P；

（3）解：∵D点坐标为（0，2），C点坐标为（2

3

，0），
要使点D在⊙O内，点C在⊙O外，则⊙O的半径r应满足2＜r＜2

3

，
∵在Rt△BOC中，∠BOC=30°，BC=2，
∴OB=4，
∵⊙O与⊙B相切，故有R+r=4或R-r=4，
从而有R=4-r或R=4+r，
∵2＜r＜2

3

，
∴4-2

3

＜R＜2或6＜R＜4+2

3

．