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（2008·武汉模拟）如图所示，△OAB，△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．
（1）如图1，点C在OA边上，点D在OB边上，连接AD，BC，M为线段AD的中点．求证：OM⊥BC．
（2）如图2，在图1的基础上，将△OCD绕点O逆时针旋转a（a为锐角），M为线段AD的中点．
①线段OM与线段BC是否存在某种确定的数量关系？写出并证明你的结论；
②OM⊥BC是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． -
（2007·中山区一模）如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，BA=BC，点M是AB上一点．
操作：作MN⊥AC，垂足为N，连接MC，取MC的中点P，连接BP、NP．
探究：
（1）请猜想与线段BP相关的三个结论．
（2）把△AMN绕点A顺时针旋转任意角度α，请利用图2，图3，选择△AMN不同位置进行操作．
（3）经历（2）以后，在旋转过程中选取你认为始终成立的两个结论，用图②或图③加以说明．
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（2007·黄浦区二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足为E．
（1）求证：CD=BE；
（2）若AB=10，求BD的长度． -
（2006·奉贤区二模）如图，在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D为射线BC上的一点，且PB=P
D，过D点作AC边上的高DE．
（1）求证：PE=BO；
（2）设AC=8，AP=x，S△PBD为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）是否存在这样的P点，使得△PBD的面积是△ABC面积的
？如果存在，求出AP的长；如果不存在，请说明理由．3 8 -
（2003·黄浦区一模）已知△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AC=a，点P在△ABC的三条边上运动，
（1）求PA+PB+PC的最小值，并说明理由；
（2）比较线段PA+PC与线段PB的大小，并说明理由；
（3）当点P在边AB上（除去A、B两端点）上运动，若要PA、PB、PC三条线段所构成锐角三角形，PA的取值范围是多少，并说明理由． -
两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．求证：
（1）△ABE≌△ACD；
（2）DC⊥BE． -
情境观察
将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示．将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A′）、B在同一条直线上，如图2所示．
观察图2可知：与BC相等的线段是AD或A′DAD或A′D，∠CAC′=9090°．
问题探究
如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．
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已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，F、G是AB边上的两个点，且FC平分∠BCD，G
D平分∠ADC，FC与GD相交于点E．
（1）求证：AF=GB；
（2）请将平行四边形ABCD添加一个什么条件，使得△EFG为等腰直角三角形，并说明理由． -
如图，已知等腰直角△ACB的边AC=BC=a，等腰直角△BED的边BE=DE=b，且a＜b，点C、B、E在一条直线上，连接AD．
（1）求△ABD的面积；
（2）如果点P是线段CE的中点，连接AP、DP得到△APD，求△APD的面积．
（以上结果先用含a、b代数式表示，后化简） -
如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，CD∥AB，CD=AB=4cm，点P是边AB上一动点，从点A出发，以1cm/s的速度从点A向终点B运动，连接PD交AC于点F，过点P作PE⊥PD，交BC于点E，连接PC，设点P运动的时间为x（s）．
（1）若△PBC的面积为y（cm2），写出y关于x的关系式；
（2）在点P运动的过程中，何时图中会出现全等三角形？直接写出x的值以及相应全等三角形的对数．