试题

情境观察
将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示．将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A′）、B在同一条直线上，如图2所示．
观察图2可知：与BC相等的线段是，∠CAC′=°．

问题探究
如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．

解：（1）根据将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，
∴与BC相等的线段是 AD或A′D，
∵∠C′AD=∠C，
∠C+∠CAB=90°，
∴∠C′AD+∠CAB=90°
∴∠CAC′=90°；      

（2）EP=FQ，理由如下：
∵Rt△ABE是等腰三角形，
∴EA=BA，
∠PEA+∠PAE=90°，
∠PAE+∠BAG=90°，
∴∠PEA=∠BAG，
∴

∠EPA=∠AGB ∠PEA=∠BAG EA=AB

，
∴△ABG≌△EAP（AAS），
∴AG=EP．
同理AG=FQ． 
∴EP=FQ．