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（2007·青海）观察规律并填空：1
，21 2
，31 4
…，第5个数是1 8 51 32 5，第n个数是1 32 n+1 2n n+．1 2n -
（2007·钦州）按一定规律排列的一列数依次为
，2 3
，5 8
，10 15
，17 24
，…，按此规律排列下去，这列数的第n个数是26 35 n2+1 (n+1)2-1 ．（n是正整数）n2+1 (n+1)2-1 -
（2006·重庆）按一定的规律排列的一列数依次为：
，1 2
，1 3
，1 10
，1 15
，1 26
┅┅，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是1 35 1 50 ．1 50 -
观察：1×3+3×5=2×32
2×4+4×6=2×42
填空：3×5+5×7=2×522×52
4×6+6×8=2×622×62
…
（1）用含有n的代数式表示你的猜想：n（n+2）+（n+2）（n+4）=2（n+2）2n（n+2）+（n+2）（n+4）=2（n+2）2
（2）请说明猜想的正确性． -
已知13=1=
×12×22，13+23=9=1 4
×22×32，13+23+33=36=1 4
×32×42，…，按照这个规律完成下列问题：1 4
（1）13+23+33+43+53=225225=
×1 4 552×662．
（2）猜想：13+23+33+…+n3=
×n2×（n+1）21 4 ．
×n2×（n+1）21 4
（3）利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）113+123+313+143+153+163+…+393+403． -
奇奇妈妈买了一块正方形地毯，地毯上有“※”组成的图案，观察局部有如此规律：奇奇数※个数的方法是用“L”来划分，从右上角的1个开始，一层一层往外数，第一层1个，第二层3个，第三层5个…，这样她发现了连续奇数求和的方法．
通过阅读上段材料，请完成下列问题：
（1）1+3+5+7+9+…+27+29=225225．
（2）13+15+17+…+197+199=99649964．
（3）0到200之间，所有能被3整除的奇数的和为32673267． -
观察下列等式：
32-12=4×2
42-22=4×3
52-32=4×4
…
（1）请写出第8个等式．
（2）你发现有什么规律？请用含有n（n≥1的整数）的等式表示你发现的规律． -
有一列数，第一个数是1，第二个数是4，第三个数记为x3，以后依次记为x4，x5，…，xn，从第二个数开始，每个数是它相邻两个数的和的一半．
（1）求x3，x4，x5，x6，并写出计算过程；
（2）探索这一列数的规律，猜想第k个数等于什么？并由此算出x2008是多少？ -
仔细观察下列各式，探究规律：12=
，12+22=1×2×3 6
，12+22+32=2×3×5 6
，…，3×4×7 6
（1）根据上述规律，求12+22+32+42+52的值；
（2）你能用一个含有n的算式表示这个规律吗？请写出这个算式；
（3）根据你发现的规律，计算下面算式的值：62+72+82+92+102+112+122+132+142+152． -
观察等式找规律，灵活运用巧计算．
①22-12=（2-1）（a+1）；
②32-12=（3+b）（3+1）；
③42-12=（c-1）（4+1）；
…
（1）求出等式中的a、b、c；
（2）根据你发现的规律，直接写出第n个等式（用含有n的等式表示）；
（3）运用你发现的规律求(1-
)(1-1 22
)(1-1 32
)…(1-1 42
)(1-1 20122
)的值．1 20132