试题
题目：
仔细观察下列各式，探究规律：
1
2
=
1×2×3
6
，
1
2
+
2
2
=
2×3×5
6
，
1
2
+
2
2
+
3
2
=
3×4×7
6
，…，
（1）根据上述规律，求1
2
+2
2
+3
2
+4
2
+5
2
的值；
（2）你能用一个含有n的算式表示这个规律吗？请写出这个算式；
（3）根据你发现的规律，计算下面算式的值：6
2
+7
2
+8
2
+9
2
+10
2
+11
2
+12
2
+13
2
+14
2
+15
2
．
答案
解：（1）1
2
+2
2
+3
2
+4
2
+5
2
=
5×6×11
6
=55；
（2）1
2
+2
2
+3
2
+…+5
2
=
n(n+1)(2n+1)
6
；
（3）6
2
+7
2
+8
2
+9
2
+10
2
+11
2
+12
2
+13
2
+14
2
+15
2
=（1
2
+2
2
+3
2
+4
2
+5
2
+6
2
+7
2
+8
2
+9
2
+10
2
+11
2
+12
2
+13
2
+14
2
+15
2
）-（1
2
+2
2
+3
2
+4
2
+5
2
）
=
15×16×31
6
-55
=1240-55
=1185．
解：（1）1
2
+2
2
+3
2
+4
2
+5
2
=
5×6×11
6
=55；
（2）1
2
+2
2
+3
2
+…+5
2
=
n(n+1)(2n+1)
6
；
（3）6
2
+7
2
+8
2
+9
2
+10
2
+11
2
+12
2
+13
2
+14
2
+15
2
=（1
2
+2
2
+3
2
+4
2
+5
2
+6
2
+7
2
+8
2
+9
2
+10
2
+11
2
+12
2
+13
2
+14
2
+15
2
）-（1
2
+2
2
+3
2
+4
2
+5
2
）
=
15×16×31
6
-55
=1240-55
=1185．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
规律型：数字的变化类．
（1）观察不难发现，从1开始的平方数的和，分母都是6，分子为最后一个数与比它大1的数的积再乘以比这个数的2倍大1的数的积；
（2）根据规律写出即可；
（3）用前15个数的平方和减去前5个数的平方和，列式计算即可得解．
本题是数字变化规律的考查，难点在于观察出分子的变化情况．
规律型．
找相似题
观察下面的几个算式：
13×17=221可写成100×1×（1+1）+21；
23×27=621可写成100×2×（2+1）+21；
33×37=1221可写成100×3×（3+1）+21；
43×47=2021可写成100×4×（4+1）+21；
…
根据上面规律填空：
（1）83×87可写成
100×8×（8+1）+21
100×8×（8+1）+21
．
（2）（10n+3）（10n+7）可写成
100n（n+1）+21
100n（n+1）+21
．
（3）计算：1993×1997=
3980021
3980021
．
张老师设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
输入
数据
1
2
3
4
…
输出
数据
1
2
1
4
1
8
1
16
…
那么，当输入数据是6时，输出的数据是
1
64
1
64
．
一组按规律排列的数：
9
5
，
16
12
，
25
21
，
36
32
，…请推断第n个数是
(n+2
)
2
n
2
+4n
(n+2
)
2
n
2
+4n
．
观察下列各式：①4=2
2
；②4+12=4
2
；③4+12+20=6
2
；④4+12+20+28=8
2
；…则第n个等式为
4+12+20+28+36+…+（2n-1）×4=（2n）
2
4+12+20+28+36+…+（2n-1）×4=（2n）
2
．
观察下列：1×3=3而3=2
2
-1，3×5=15而15=4
2
-1，5×7=35而35=6
2
-1，…，11×13=143而143=12
2
-1．你猜想到的规律用只含一个字母n的式子表示出来是
n（n+2）=（n+1）
2
-1
n（n+2）=（n+1）
2
-1
．