试题
题目：
已知1
3
=1=
1
4
×1
2
×2
2
，1
3
+2
3
=9=
1
4
×2
2
×3
2
，1
3
+2
3
+3
3
=36=
1
4
×3
2
×4
2
，…，按照这个规律完成下列问题：
（1）1
3
+2
3
+3
3
+4
3
+5
3
=
225
225
=
1
4
×
5
5
2
×
6
6
2
．
（2）猜想：1
3
+2
3
+3
3
+…+n
3
=
1
4
×n
2
×（n+1）
2
1
4
×n
2
×（n+1）
2
．
（3）利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）11
3
+12
3
+31
3
+14
3
+15
3
+16
3
+…+39
3
+40
3
．
答案
225
5
6
1
4
×n
2
×（n+1）
2
解：（1）1
3
+2
3
+3
3
+4
3
+5
3
=225=
1
4
×5
2
×6
2
（2）猜想：1
3
+2
3
+3
3
+…+n
3
=
1
4
×n
2
×（n+1）
2
（3）利用（2）中的结论计算：
11
3
+12
3
+31
3
+14
3
+15
3
+16
3
+…+39
3
+40
3
．
解：原式=1
3
+2
3
+3
3
+…+39
3
+40
3
-（1
3
+2
3
+3
3
+…+10
3
）
=
1
4
×40
2
×41
2
-
1
4
×10
2
×11
2
=672400-3025
=669375
考点梳理
考点
分析
点评
专题
规律型：数字的变化类．
（1）根据题目提供的三个算式利用类比法可以得到1
3
+2
3
+3
3
+4
3
+5
3
的结果；
（2）根据上面的四个算式总结得到规律1
3
+2
3
+3
3
+…+n
3
=
1
4
×n
2
×（n+1）
2
；
（3）11
3
+12
3
+31
3
+14
3
+15
3
+16
3
+…+39
3
+40
3
转化为1
3
+2
3
+3
3
+…+39
3
+40
3
-（1
3
+2
3
+3
3
+…+10
3
）后利用总结的规律即可求得答案．
本题考查了数字的变化类问题，仔细的观察题目提供的算式并找到规律是解决此题的关键．
规律型．
找相似题
观察下面的几个算式：
13×17=221可写成100×1×（1+1）+21；
23×27=621可写成100×2×（2+1）+21；
33×37=1221可写成100×3×（3+1）+21；
43×47=2021可写成100×4×（4+1）+21；
…
根据上面规律填空：
（1）83×87可写成
100×8×（8+1）+21
100×8×（8+1）+21
．
（2）（10n+3）（10n+7）可写成
100n（n+1）+21
100n（n+1）+21
．
（3）计算：1993×1997=
3980021
3980021
．
张老师设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
输入
数据
1
2
3
4
…
输出
数据
1
2
1
4
1
8
1
16
…
那么，当输入数据是6时，输出的数据是
1
64
1
64
．
一组按规律排列的数：
9
5
，
16
12
，
25
21
，
36
32
，…请推断第n个数是
(n+2
)
2
n
2
+4n
(n+2
)
2
n
2
+4n
．
观察下列各式：①4=2
2
；②4+12=4
2
；③4+12+20=6
2
；④4+12+20+28=8
2
；…则第n个等式为
4+12+20+28+36+…+（2n-1）×4=（2n）
2
4+12+20+28+36+…+（2n-1）×4=（2n）
2
．
观察下列：1×3=3而3=2
2
-1，3×5=15而15=4
2
-1，5×7=35而35=6
2
-1，…，11×13=143而143=12
2
-1．你猜想到的规律用只含一个字母n的式子表示出来是
n（n+2）=（n+1）
2
-1
n（n+2）=（n+1）
2
-1
．