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（1997·天津）如图，⊙O和⊙O′都经过A、B两点，过B作直线交⊙O于C，交⊙O′于D，G为圆外一点，GC交⊙O于E，GD交⊙O′于F．
求证：∠EAF+∠G=180°． -
（2013·椒江区一模）如图，AB是⊙O的直径，D，E是⊙O上的两点，AE和BD的延长线交于点C，连接DE．
（1）求证：△CDE∽△CAB；
（2）若∠C=60°，求证：DE=
AB．1 2 -
操作与探究
我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，探究过四边形四个顶点作圆的条件．
（1）分别测量图1、2、3各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？证明你的发现．
（2）如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合图4、5的两个图说明其中的道理．（提示：考虑∠B+∠D与180°之间的关系）
由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件． -
（2013·武汉模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，E为DC边上一点，若AE∥BC，AE=EC=7，AD=6．
（1）求AB的长；
（2）求EG的长． - AD，BE，CF是锐角△ABC的三条高．从A引EF的垂线l1，从B引FD的垂线l2，从C引DE的垂线l3．求证：l1，l2，l3三线共点．
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如图，已知⊙O是四边形ABCD的外接圆，直线AD，BC相交于点E，F是弦CD的中点，直线EF交弦AB于点G，求证：
（1）ED·EA=EC·EB；
（2）AG：GB=AE2：BE2． -
设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．
求证：AP=AQ．（初二） -
如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，对角线AC与BD交于P，下面给出5个论断：
①AB∥CD ②AP=PC ③AB=CD ④∠BAD=∠DCB ⑤AD∥BC．
（1）若用①和④论断作为条件，试证四边形ABCD是矩形；
（2）请你另选取两个能推出四边形ABCD为矩形的论断，如：①和③①和③和②和③②和③（不证明，用序号表示即可）．
（3）若选取论断③和⑤作为条件，能推出四边形ABCD为矩形吗？若能给出证明，若不能举反例说明之． -
如图，△ADC的外接圆直径AB交CD于点E，已知∠C=65°，∠D=47°，求∠CEB的度数．
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已知△ABC．
（1）如图，AC⊥AB，点D为BC上一点，∠ABD=∠BAD，∠EAC=∠CAD，
求证：AE∥BC．
（2）如图，点P是BC上一点，且∠APC＜90°，以AP为一边作正方形APMN，若NC⊥BC，则∠ACB=4545°，并证明你的结论．