试题

如图，已知⊙O是四边形ABCD的外接圆，直线AD，BC相交于点E，F是弦CD的中点，直线EF交弦AB于点G，求证：
（1）ED·EA=EC·EB；
（2）AG：GB=AE²：BE²．

证明：
（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠DCE=∠A，∠EDC=∠B
∴△EDC∽△EAB
∴

ED

EB

=

EC

EA

故ED·EA=EC·EB；
（2）证明：∵△DEF的边DF和△CEF的边CF上的高相等，
∵CF=DF，
∴

S△DEF

S△CEF

=1，
由正弦定理得：

S△DEF

S△CEF

=

1 2 DE·EFsin∠DEF

1 2 CE·EFsin∠CEF

=

DEsin∠DEF

CEsin∠CEF

=1
∵△EDC∽△EAB
∴

DE

CE

=

EB

EA

，
∴

EBsin∠DEF

EAsin∠CEF

=1，
∴

sin∠DEF

sin∠CEF

=

EA

EB

，
∵△AEG边AG和△BEG边CG上的高相等，
∴

S△AEG

S△BEG

=

AG

BG

=

1 2 AE·EGsin∠AEG

1 2 BE·EGsin∠BEG

=

AE

BE

·

sin∠DEF

sin∠CEF

=

AE

BE

×

AE

BE

，
即

AG

BG

=

AE2

BE2

．
证明：
（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠DCE=∠A，∠EDC=∠B
∴△EDC∽△EAB
∴

ED

EB

=

EC

EA

故ED·EA=EC·EB；
（2）证明：∵△DEF的边DF和△CEF的边CF上的高相等，
∵CF=DF，
∴

S△DEF

S△CEF

=1，
由正弦定理得：

S△DEF

S△CEF

=

1 2 DE·EFsin∠DEF

1 2 CE·EFsin∠CEF

=

DEsin∠DEF

CEsin∠CEF

=1
∵△EDC∽△EAB
∴

DE

CE

=

EB

EA

，
∴

EBsin∠DEF

EAsin∠CEF

=1，
∴

sin∠DEF

sin∠CEF

=

EA

EB

，
∵△AEG边AG和△BEG边CG上的高相等，
∴

S△AEG

S△BEG

=

AG

BG

=

1 2 AE·EGsin∠AEG

1 2 BE·EGsin∠BEG

=

AE

BE

·

sin∠DEF

sin∠CEF

=

AE

BE

×

AE

BE

，
即

AG

BG

=

AE2

BE2

．