试题

题目：
青果学院（2013·椒江区一模）如图，AB是⊙O的直径，D，E是⊙O上的两点，AE和BD的延长线交于点C，连接DE．
（1）求证：△CDE∽△CAB；
（2）若∠C=60°，求证：DE=
1
2
AB．
答案
证明：（1）∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠CDE=∠A，青果学院
又∵∠C=∠C
∴△CDE∽△CAB；
（2）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADC=∠ADB=90°
又∵∠C=60°，
∴
CD
AC
=cos60°=
1
2
，
由（1）已证△CDE∽△CAB，
∴
ED
AB
=
CD
AC
=
1
2

∴ED=
1
2
AB．
证明：（1）∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠CDE=∠A，青果学院
又∵∠C=∠C
∴△CDE∽△CAB；
（2）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADC=∠ADB=90°
又∵∠C=60°，
∴
CD
AC
=cos60°=
1
2
，
由（1）已证△CDE∽△CAB，
∴
ED
AB
=
CD
AC
=
1
2

∴ED=
1
2
AB．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质．
（1）由圆的内接四边形的性质可得：∠CDE=∠A，再由∠C=∠C，即可证明：△CDE∽△CAB；
（2）连接AD，由（1）已证△CDE∽△CAB，根据相似三角形的性质和已知条件即可证明DE=
1
2
AB．
本题考查了圆的内接四边形性质、圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，题目难度中等．
证明题．
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