数学

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（1999·广州）如图，已知AB是⊙O的直径，点D在弦AC上，DE⊥AB于E．
求证：AD·AC=AE·AB．

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（1998·四川）已知：如图⊙O中，CD为直径，半径OA⊥CD，点B在OA上，延长CB交⊙O于点M，

，MB·BC=20，求：
（1）⊙O的半径和DM的长（单位：厘米）；
（2）△ABM的面积．

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（1998·上海）如图，已知AB是圆O的直径，AC是弦，AB=2，AC=

，在图中画出弦AD，使AD=1，并求出∠CAD的度数．

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（1998·广东）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，D是弧AC上任一点，过C作CE∥DA交⊙O于点E，BE、DA的延长线相交于点F，连接BD交AC于点G．
求证：
（1）△BDF是正三角形；
（2）BC²=BG·BF．

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（1997·河北）已知：如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，弧AE=弧AC，ED交AB于点F．求证：PF·PO=PA·PB．

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（1997·广西）已知：如图，四边形ABCD是圆内接四边形，

，以AD为直径作⊙O交BA的延长线于E，交AC于F．
（1）求证：AE=AE；
（2）设AB=2，AC=7，求AE的长．

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（2013·盐城模拟）已知四边形ABCD的外接圆⊙O的半径为5，对角线AC与BD的交点为E，且AB²=AE·AC，BD=8，
（1）判断△ABD的形状并说明理由；
（2）求△ABD的面积．

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（2013·萧山区模拟）如图，l₁、l₂、l₃是一组距离不想等的平行线，作等边△ABC，使A、B在l₁上，C在l₃上，BC交l₂于点M，△ACM的外接圆交l₃于点N，试判断△AMN的形状并证明．

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（2013·武汉模拟）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC＞AC，⊙O为△ABC的外接圆，以点C为圆心，BC长为半径作弧交CA的延长线于点D，交⊙O于点E，连接BE、DE．
（l）求∠DEB的度数；
（2）若直线DE交⊙0于点F，判断点F在半圆AB上的位置，并证明你的结论．

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（2013·吴江市模拟）如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与A，C重合），延长BD至E．
（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，且△ABC底边BC边上高为1，求△ABC外接圆的周长．

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