试题

题目：
青果学院（1999·广州）如图，已知AB是⊙O的直径，点D在弦AC上，DE⊥AB于E．
求证：AD·AC=AE·AB．
答案
青果学院证明：连接BC，（2分）
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，（4分）
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴△DAE∽△BAC，（8分）
∴
AD
AB
=
AE
AC
，（9分）
∴AD·AC=AE·AB．（10分）
青果学院证明：连接BC，（2分）
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，（4分）
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴△DAE∽△BAC，（8分）
∴
AD
AB
=
AE
AC
，（9分）
∴AD·AC=AE·AB．（10分）
考点梳理
圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
先连接BC，构造相似三角形，△ADE和△ABC，由AB是直径，可得∠ACB=90°，而DE⊥AB，∠AED=90°，再加上一个公共角，那么两组对应角相等，两三角形相似．再有相似三角形的性质可得比例线段，从而得证．
本题利用了直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定和性质等知识．
证明题．
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