数学
某校A、B、C三名同学参加全国中学生数理化学科能力竞赛,其指导教师赛前预测:“A获金牌;B不会获金牌;C不会获铜牌.”结果出来后,三人之中,一人获金牌,一人获银牌,一人获铜牌,指导教师的预测只有一个与结果相符.由此可以推论:
C
C
获得银牌.
一栋公寓楼有5层.每层有一或两套公寓.楼内共有8套公寓.住户J、K、L、M、N、O、P、Q共8人住在不同公寓里.已知:
(1)J住在两套公寓的楼层.(2)K住在P的上一层.
(3)二层只有一套公寓.(4)M、N住在同一层.
(5)O、Q不同层.(6)Q不住在一层或二层.
(7)L住在她所在层仅有的公寓里,且不在第一层或第五层.
(8)M在第四层
那么,J住在第
5
5
层.
将7个小球分别放入3个盒子里,允许有的盒子空着不放,试问有
8
8
种不同放法.
有1997个负号“-”排成一行,甲乙轮流改“-”为正号“+”,每次只准画一个或相邻的两个“-”为“+”,先画完“-”使对方无法再画为胜,现规定甲先画,则其必胜的策略是什么?
(2009·温州)在学习中,小明发现:当n=1,2,3时,n
2
-6n的值都是负数.于是小明猜想:当n为任意正整数时,n
2
-6n的值都是负数.小明的猜想正确吗?请简要说明你的理由.
(2005·资阳)甲、乙两同学开展“投球进筐”比赛,双方约定:
①比赛分6局进行,每局在指定区域内将球投向筐中,只要投进一次后该局便结束;
②若一次未进可再投第二次,以此类推,但每局最多只能投8次,若8次投球都未进,该局也结束;
③计分规则如下:a.得分为正数或0;
b.若8次都未投进,该局得分为0;
c.投球次数越多,得分越低;
d. 6局比赛的总得分高者获胜.
(1)设某局比赛第n(n=1,2,3,4,5,6,7,8)次将球投进,请你按上述约定,用公式、表格或语言叙述等方式,为甲、乙两位同学制定一个把n换算为得分M的计分方案;
(2)若两人6局比赛的投球情况如下(其中的数字表示该局比赛进球时的投球次数,“×”表示该局比赛8次投球都未进):根据上述计分规则和你制定的计分方案,确定两人谁在这次比赛中获胜.
第一局
第二局
第三局
第四局
第五局
第六局
甲
5
x
4
8
1
3
乙
8
2
4
2
6
x
(2005·宜昌)质检员为控制盒装饮料产品质量,需每天不定时的30次去检测生产线上的产品.若把从0时到24时的每十分钟作为一个时间段(共计144个时间段),请你设计一种随机抽取30个时间段的方法,使得任意一个时间段被抽取的机会均等,且同一时间段可以多次被抽取?(要求写出具体的操作步骤)
(2003·安徽)附加题:
要将29个数学竞赛的名额分配给10所学校,每所学校至少要分到一个名额.
(1)试提出一种分配方案,使得分到相同名额的学校少于4所;
(2)证明:不管怎样分配,至少有3所学校得到的名额相同;
(3)证明:如果分到相同名额的学校少于4所,则29名选手至少有5名来自同一学校.
(2009·普陀区模拟)一个旅游区有7个不在一条直线上的编号为A,B,C,D,E,F,G的风景点(如图
).现要开设一些公共汽车线路,满足以下条件:
(a)由每个风景点可不换车到达其它任一风景点.
(b)每条汽车线路只连接3个风景点.
(c)任何两条汽车线路之间都只有一个共同的风景点.
(1)该旅游区应开设几条公共汽车线路?
(2)若风景点在一条线路上,则该公共汽车线路写成A-B-C.
试写出该旅游区完整的公共汽车线路图.
同学们一定听过蚂蚁和大象进行举重比赛的故事吧!蚂蚁能举起比它的体重重许多倍的火柴棒,而大象举起的却是比自己体重轻许多倍的一截圆木,结果蚂蚁获得了举重冠军!
我们这里谈论的话题是:蚂蚁和大象一样重吗?我们知道,即使是最大的蚂蚁与最小的大象,它们的体重明显不是一个数量级的.但是下面的推导却让你大吃一惊:蚂蚁和大象一样重!
设蚂蚁重x克,大象重y克,它们的体重和为2a克,则x+y=2a.
两边同乘以(x-y),得(x+y)(x-y)=2a(x-y),
即x
2
-y
2
=2ax-2ay,
可变形为x
2
-2ax=y
2
-2ay.
两边都加上a
2
,得(x-a)
2
=(y-a)
2
,
两边开平方,得
x-a=y-a,
所以x=y.
这里竟然得出了蚂蚁和大象一样重的结论,岂不荒唐!那么毛病究竟出在哪里呢?亲爱的同学,你能找出来吗?
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