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（1）观察一列数a1=3，a2=9，a3=27，a4=81，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是33；根据此规律，如果an（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a6=3636，an=3n3n；（可用幂的形式表示）
（2）如果想要求1+2+22+23+…+210的值，可令S10=1+2+22+23+…+210①将①式两边同乘以2，得2S10=2+22+23+…+210+2112S10=2+22+23+…+210+211②，由②减去①式，得S10=211-1211-1．
（3）若（1）中数列共有20项，设S20=3+9+27+81+…+a20，请利用上述规律和方法计算S20的值．
（4）设一列数1，
，1 2
，1 4
，…，1 8
的和为Sn，则Sn的值为1 2n-1 2-1 2n-1 2-．1 2n-1 -
观察下列三行数：
-1，2，-4，8，-16，32，…； ①
-2，4，-8，16，-32，64，…； ②
0，6，-6，18，-30，66，…； ③
（1）第①行数按什么规律排列？
（2）第②③行数与第①行数分别有什么关系？
（3）取每行数的第n个数，这三个数的和能否等于-1278？如果能，指出是每行的第几个数，并求出这三个数；如果不能，请说明理由． -
观察下列3行数
-2，4，-8，16，-32，64…①
0，6，-6，18，-30，66…②
3，-3，9，-15，33，-63…③
（1）第①行的第n个数是（-2）n（-2）n．
（2）（Ⅰ）请将第·行数中的每个数都减去第·行数中对应位置的数，根据你得到的结论，直接写出第②行数的第n个数是（-2）n+2（-2）n+2．
（Ⅱ）直接写出第③行数的第n个数是-（-2）n+1-（-2）n+1．
（3）取每行数的第k个数，这三个数的和能否等于-509？如果能，请你求出k值；如果不能，请说出理由． -
把自然数按上小下大、左小右大下原则排成如图下三角形数表（每行比上一行多一个数）．设aij（i、j∈N+）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数下第j个数（如a42=8）．
（1）若aij=2下1下，求i、j下值．
（2）记三角形数表从上往下数第n行各数下和为bn，令cn=
．若数列{cn}下前n项和为Tn，求Tn．1，n=1
，n≥2n bn-n -
观察下列各式：
12+1=1×2
22+2=2×3
32+3=3×4
…
请你将猜想到的规律用自然数n（n≥1）表示出来n2+n=n（n+1）n2+n=n（n+1）． -
观察下列算式：
1=1=12
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42
…
按规律填空：（1）1+3+5+7+9=5252；（2）1+3+5+…+2005=1003210032． -
在很小的时候，我们就用手指练习过数数．一个小朋友按如图所示的规则练习数数（各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指）．
（1）数字“25”落在哪个手指上？
（2）请用字母n（n≥1，且n为整数）分别表示大拇指、中指和小指上数字的排列规律．
（3）数字“2011”、“2012”分别落在哪两个手指上？请写出理由． -
阅读下列一段话，并解决下面的问题．
观察这样一列数：个，个，b，8，…我们发现这一列数从第个项起，每一项与它前一项的比都等于个．一般地，如果一列数从第个项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．
（个）等比数列b，-个2，2b，…的公比是-b-b；
（个）如果一列数a个，a个，a3，ab，…是等比数列，且公比为q，那么根据上述的规定，有
=q，a个 a个
=q，a3 a个
=q，…ab a3
所以，a个=a个q，a3=a个q=(a个q)q=a个q个，ab=a3q=(a个q个)q=a个q3，…an=a个qn-个a个qn-个．（用a个与q的代数式表示）
（3）一个等比数列的第个项是个8，第b项是8，求它的第3项． -
研究下列算式，你会发现有什么规律？
①13=12
②13+23=32
③13+23+33=62
④13+23+33+43=102
⑤13+23+33+43+53=152…
（1）根据以上算式的规律，请你写出第⑥算式；
（2）用含n（n为正整数）的式子表示第n个算式；
（3）请用上述规律计算：63+73+83+…+203． -
观察下列等式，解答下列问题
等式（1）：32+42=52
等式（2）：102+112+122=132+142
等式（3）：212+222+232+242=252+262+272
…
等式（n）
（1）由上述等式可知，每个等式中紧靠等于号左边的数分别是42、122、242…，这些数存在规律（4×1）2，[4×（1+2）]2，[4×（1+2+3）]2…请你根据这个规律直接写出等式（4）；
（2）若紧靠等于号左边的数是2202，那么该等式是多少个连续正整数平方和组成的？