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如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4；矩形ABCD的边BC 在线段OM上，点A、D在抛物线上．
（1）请写出P、M两点的坐标，并求这条抛物线的解析式．
（2）设矩形ABCD的周长为L
①当BC=2时，求矩形ABCD的周长；
②矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值．
（3）连接OP、PM，则△PMO为等腰三角形，请判断在抛物线上是否还存在点Q（除点M外），使得△OPQ也是等腰三角形？若有，请在图上用尺规作图方法作出． -
已知抛物线：y1=-
x2+2x将抛物线y1向右平移2个单位，再向上平移1个1 2 
单位，得到抛物线y2，
（1）求抛物线y2的解析式．
（2）如图，抛物线y2的顶点为P，x轴上有一动点M，在y1、y2这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由． -
已知抛物线y=ax2经过点A（2，1）
（1）求这个函数的解析式；
（2）写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标；
（3）求△OAB的面积；
（4）抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半？若存在，求出C点的坐标，若不存在，请说明理由． -
已知抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c均不为0）的顶点为P，与y轴的交点是M．我们称以M为顶点，且过点P的抛物线为抛物线L的“伴随抛物线”，直线PM为L的“伴随直线”．
（1）请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式：伴随抛物线的解析式y=-2x2+1y=-2x2+1，伴随直线的解析式y=-2x+1y=-2x+1；
（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x2-3和y=-x-3，则这条抛物线的解析式是y=x2-2x-3y=x2-2x-3；
（3）求抛物线y=ax2+bx+c（其中a、b、c均不为0）的伴随抛物线和伴随直线的解析式． -
（2012·三明）已知直线y=2x-5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y=-x2+bx+c的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．
（1）如图，当点M与点A重合时，求：
①抛物线的解析式；
②点N的坐标和线段MN的长；
（2）抛物线y=-x2+bx+c在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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（2012·南平）在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为（m，1）（m＞0），将此矩形绕O点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．
（1）写出点A、A′、C′的坐标；
（2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，求此抛物线的解析式；（a、b、c可用含m的式子表示）
（3）试探究：当m的值改变时，点B关于点O的对称点D是否可能落在（2）中的抛物线上？若能，求出此时m的值． -
（2012·崇左）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为点A（-2，3），且抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点B（0，2）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）是否在x轴上存在点P使△PAB为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是x轴上任意一点，则当PA-PB最大时，求点P的坐标． -
（2012·常德）如图，已知二次函数y=
(x+2)(ax+b)的图象过点A（-4，3），B（4，4）．1 48
（1）求二次函数的解析式：
（2）求证：△ACB是直角三角形；
（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． -
已知二次函数图象的顶点为D（1，-4），且经过点A（-1，0）．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，试判断△BCD的形状，并说明理由；
（3）设经过B、C、D三点的圆的圆心为O′，设⊙O′与x轴的另一个交点为E，求线段BE的长． -
如图，已知抛物y=ax2+bx+c线经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点是D，求sin∠COD的值．