数学
如图,△ABE与△DCF成中心对称,则对称中心是
BC中点(或AD中点)
BC中点(或AD中点)
.
·ABCD的对角线交于点O,则关于点O对称的三角形有
四
四
对,它们是
△ACD与△CAB;△AOB与△COD;△ABD与△CDB;△AOD与△COB
△ACD与△CAB;△AOB与△COD;△ABD与△CDB;△AOD与△COB
.
若O点是·ABCD对角线AC、BD的交点,过O点作直线l交AD于E,交BC于F.则线段OF与OE的关系是
相等
相等
,梯形ABFE与梯形CDEF是
成中心对称
成中心对称
图形.
填空:
(1)把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形
重合
重合
,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心
对称
对称
,这个点叫做
对称
对称
中心,这两个图形中的对应点叫做关于中心的
对称
对称
点.
(2)中心对称的性质有:中心对称的两个图形是
全等
全等
图形;中心对称的两个图形,对称点所连线段都
经过
经过
对称中心,而且被对称中心所
平分
平分
.
关于中心对称的两个图形是
全等
全等
的.
关于中心对称的两个图形,对应线段
平行
平行
(或在同一直线上)且
相等
相等
;关于某直线对称的两个图形,它们的对应线段(或延长线)相交,那么交点在
对称轴
对称轴
上.
如图三角形ABC的面积是50,M为形内任一点,N,P,Q分别为M关于三角形ABC三边中点的对称点,则三角形NPQ的面积为
50
50
.
(2005·上海)(1)在图1所示编号为①、②、③、④的四个三角形中,关于y轴对称的两个三角形的编号为
①,②
①,②
;关于坐标原点O对称的两个三角形的编号为
①,③
①,③
;
(2)在图2中,画出与△ABC关于x轴对称的△A
1
B
1
C
1
.
(2011·宁阳县模拟)课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
(1)如图1,在△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到E,使得DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB、AC、2AD集中在△ABE中,利用三角形的三边关系可得2<AE<8,则1<AD<4.
[感悟]解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
(2)解决问题:受到(1)的启发,请你证明下列命题:如图2,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.
求证:BE+CF>EF,若∠A=90°,探索线段BE、CF、EF之间的等量关系,并加以证明.
我们规定:若点O是线段MN的中点,则称点M关于O的对称点是N(或称点M与点N关于O成中心对称);若直线n是线段MN的垂直平分线,则称点M关于n的对称点是N(或称点M与点N关于n成轴对称),如图现有石头A和石头B关于竹竿l对称,石头A和石头B相距80cm一只电子青蛙位于点P,与石头A相距60cm,与竹竿l相距30cm,他按照如下指令跳动:第一跳落点于P
1
,P与P
1
关于点A成中心对称;第二跳落点于P
2
,P
2
与P
1
关于竹竿l成轴对称;第三跳落点于P
3
,P
3
与P
2
关于点B成中心对称;第
四跳落点于P
4
,P
4
与P
3
关于竹竿l成轴对称;以此跃下去,若每25跳可以休息一次.
(1)画出这只电子青蛙前四跳运动的路线图,并求点P
4
与点P
1
的距离(不须说明理由)
(2)求电子青蛙第三次休息点与点P的距离.
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