试题

题目：
青果学院如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠B=60°，点P、Q分别是边BC、CD上的动点（不与端点重合），在运动过程中，保持∠PAQ=60°不变．
（1）试说明：△PAQ是等边三角形；
（2）求四边形APCQ的面积；
（3）填空：当BP=
1
1
时，S△PCQ最大．
答案
1

解：（1）在菱形ABCD中，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴AC=CD，
∵∠PAQ=60°，
∴∠CAP=∠DAQ，
∴△ACP≌△ADQ，
∴AP=AQ，
∴△PAQ是等边三角形；

（2）∵△ACP≌△ADQ，∴S△ACP=S△ADQ，
即S四边形APCQ=S△ACD=
1
2
×2×
3
=
3
；

（3）∵△PAQ是等边三角形，
∴当AP⊥BC时，三角形APQ的面积最小，则三角形PCQ的面积最大．
此时BP=1，
故答案为1．
考点梳理
菱形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．
（1）利用证明三角形ACP和三角形ADQ全等证AP=AQ，结合角PAQ等于60度，便得△PAQ是等边三角形；
（2）根据三角形ACP和三角形ADQ全等，则四边形APCQ的面积等于三角形ABC或者三角形ACD的面积．
（3）要使三角形PCQ的面积最大，只要等边三角形APQ的面积最小即AP⊥BC时即可．
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定，有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形．
证明题．
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