试题

（2007·梅州）已知二次函数图象的顶点是（-1，2），且过点(0，

3

2

)．
（1）求二次函数的表达式，并在图中画出它的图象；
（2）求证：对任意实数m，点M（m，-m²）都不在这个二次函数的图象上．

解：（1）依题意可设此二次函数的表达式为y=a（x+1）²+2，
又点（0，

3

2

）在它的图象上，
所以

3

2

=a+2，解得，a=-

1

2

，
所求为y=-

1

2

（x+1）²+2，或y=-

1

2

x²-x+

3

2

．
令y=0，得x₁=1，x₂=-3，
画出其图象；

（2）证明：若点M在此二次函数的图象上，
则-m²=-

1

2

（m+1）²+2，
得m²-2m+3=0，
方程的判别式：4-12=-8＜0，该方程无实根，
所以，对任意实数m，点M（m，-m²）都不在这个二次函数的图象上．
解：（1）依题意可设此二次函数的表达式为y=a（x+1）²+2，
又点（0，

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）在它的图象上，
所以

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=a+2，解得，a=-

1

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，
所求为y=-

1

2

（x+1）²+2，或y=-

1

2

x²-x+

3

2

．
令y=0，得x₁=1，x₂=-3，
画出其图象；

（2）证明：若点M在此二次函数的图象上，
则-m²=-

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（m+1）²+2，
得m²-2m+3=0，
方程的判别式：4-12=-8＜0，该方程无实根，
所以，对任意实数m，点M（m，-m²）都不在这个二次函数的图象上．