试题

（2013·吉安模拟）已知抛物线y=ax²+bx+3与y轴的交点为A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，二次函数y=ax²+bx+3的y与x的部分对应值如下表：

x	…	-1	0	1	3	4	…
y	…	8		0	0		…

（1）抛物线的对称轴是．点A（，），B（，）；
（2）求二次函数y=ax²+bx+3的解析式；
（3）已知点M（m，n）在抛物线y=ax²+bx+3上，设△BAM的面积为S，求S与m的函数关系式、画出函数图象．并利用函数图象说明S是否存在最大值，为什么？

解：（1）根据当x=1和3时，y=0，得出抛物线的对称轴是：直线x=2，
∵抛物线y=ax²+bx+3与y轴的交点为A，
∴x=0时，y=3，则点A（ 0，3 ），故B（4，3 ）；

（2）图象过（1，0），（3，0），
设抛物线为y=a（x-1）（x-3），
把（0，3）代入可得：3=a（0-1）（0-3），
解得：a=1，
故二次函数y=ax²+bx+3的解析式为：y=（x-1）（x-3）=x²-4x+3；

（3）如图1，∵AB∥x轴，AB=4，
当0＜m＜4时，点M到AB的距离为3-n，
∴S_△ADM=

1

2

（3-n）×4=6-2n，
又∵n=m²-4m+3，S₁=-2m²+8m，
∴当m＜0或m＞4时，点M到直线AB的距离为n-3，S₂=

1

2

×4（n-3）=2n-6，
而 n=m²-4m+3，S₂=2m²-8m，
S=

-2m2+8m (0＜m＜4) 2m2-8m  (m＜0或m＞4)

，
故函数图象如图2（x轴上方部分）所示，S不存在最大值，从图象可知：当m＜0或m＞4时，S的值可以无限大．