试题

题目：
如图，已知△ABC是边长为4的正三角形，AB在x轴上，点C在第一象限，AC与y轴交于点D，点A青果学院的坐标为（-1，0）．
（1）写出B，C，D三点的坐标；
（2）若抛物线y=ax2+bx+c经过B，C，D三点，求此抛物线的解析式．
答案
青果学院解：（1）过C作CE⊥AB交x轴于E点，
∵△ABC是正三角形，AB=AC=BC=4，A（-1，0），
∴B（3，0），E（1，0），
∴AE=2，（3分）
在Rt△ACE中，CE=
AC2-AE2
=2
3
，
∴C（1，2
3
），（5分）
∵CE∥DO，
∴
DO
CE
=
AO
AE
，
∴DO=
3 
，
∴D（0，
3
）；（7分）

（2）由抛物线y=ax2+bx+c经过B，C，D三点，
得：
c=
3
a+b+c=2
3
9a+3b+c=0
，
解得
a=-
2
3
3
b=
5
3
3
c=
3
，
∴抛物线的解析式为y=-
2
3
3
x2+
5
3
3
x+
3
．（12分）
青果学院解：（1）过C作CE⊥AB交x轴于E点，
∵△ABC是正三角形，AB=AC=BC=4，A（-1，0），
∴B（3，0），E（1，0），
∴AE=2，（3分）
在Rt△ACE中，CE=
AC2-AE2
=2
3
，
∴C（1，2
3
），（5分）
∵CE∥DO，
∴
DO
CE
=
AO
AE
，
∴DO=
3 
，
∴D（0，
3
）；（7分）

（2）由抛物线y=ax2+bx+c经过B，C，D三点，
得：
c=
3
a+b+c=2
3
9a+3b+c=0
，
解得
a=-
2
3
3
b=
5
3
3
c=
3
，
∴抛物线的解析式为y=-
2
3
3
x2+
5
3
3
x+
3
．（12分）
考点梳理
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．
（1）过C作CE⊥ABxX轴于E点，可得出E的坐标，A、B的坐标，再由△ABC可求出CE的长度，继而可得出C的坐标，然后根据比例关系可求出D点坐标．
（2）用待定系数法求解，将三点代入联立求解可求出a、b、c的值，即得出函数解析式．
本题考查待定系数法求二次函数解析式，结合了等边三角形的性质，综合性比较强，难度也很大．
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