试题

题目：
对于正数x，规定f（x）=
x2
1+x2
，如f（1）=
1
1+1
=
1
2

（1）计算f（2）=
4
5
4
5
；f（
1
2
）=
1
5
1
5
；f（2）+f（
1
2
）=
1
1
．f（3）+f（
1
3
）=
1
1

（2）猜想f（x）+f(
1
x
)=
1
1
；请予以证明．
（3）现在你会计算f(
1
2011
)+f(
1
2010
)+f(
1
2009
)+f(
1
2008
)+f(
1
2007
)+…f（
1
3
）+f（
1
2
）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2007）+f（2008）+f（2009）+f（2010）+f（2011）的值了吗，写出你的计算过程．
答案
4
5

1
5

1

1

1

解：（1）∵f（x）=
x2
1+x2
，
∴f（2）=
22
1+22
=
4
5
，
f（
1
2
）=
(
1
2
)2
1+(
1
2
)2
=
1
5
，
f（2）+f（
1
2
）=
4
5
+
1
5
=1
f（3）+f（
1
3
）=
32
1+32
+
(
1
3
)2
1+(
1
3
)2
=
9
10
+
1
10
=1；
（2）：猜想f（x）+f(
1
x
)=1，
证明如下：∵f（x）=
x2
1+x2
，
∴
f(
1
x
)=
(
1
x
)2
1+(
1
x
)2
=
1
x2
1+
1
x2
=
1
x2
x2+1
x2
=
1
x2+1
，
∴f（x）+f(
1
x
)=
x2
1+x2
+
1
x2+1
=1；
（3）f(
1
2011
)+f(
1
2010
)+f(
1
2009
)+f(
1
2008
)+f(
1
2007
)+…f（
1
3
）+f（
1
2
）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2007）+f（2008）+f（2009）+f（2010）+f（2011）
=f(
1
2011
)+f（2011）+f(
1
2010
)+f（2010）+…+f（
1
2
）+f（2）+f（1）
=1+1+…+1+
1
2

=2010
1
2
．
故答案为：
4
5
，
1
5
，1，1，1．
考点梳理
分式的化简求值．
（1）根据已知f（x）=
x2
1+x2
，分别把x的值代入即可求出答案；
（2）根据已知条件，分别把f（x）和f（
1
x
）的值求出，再进行相加即可求出答案；
（3）根据（2）所知f（x）+f(
1
x
)=1，再根据所给的式子分别进行结合，即可求出答案．
此题考查了分式的化简求值，解题的关键是找出规律，再把x的值代入，做题时要细心．
新定义．
找相似题