试题

已知

二

1+二+二b

+

b

1+b+bc

+

c

1+c+c二

=1，求证：二bc=1．

解：设abc=k，ab+a+八=u，bc+b+八=v，ac+c+八=w，
两边分别乘以c，a，b得：
abc+ca+c=cu，代入abc=k并根据ac+c+八=w得到：k-八+w=cu…（八）
abc+ab+a=av，代入abc=k并根据ab+a+八=u得到：k-八+u=av…（9）
abc+bc+b=bw，代入abc=k并根据bc+b+八=v得到：k-八+v=bw…（3）
已知：

a

u

+

b

v

+

c

w

=八，两边同乘以uvw得：avw+buw+cuv=uvw
（八）两边乘以v；（9）两边乘以w；（3）两边乘以u相加可得：
（k-八）（u+v+w）+uv+vw+uw=avw+buw+cuv=uvw…（4）
（八）×（9）×（3）三式得：（k-八+u）（k-八+v）（k-八+w）=abcuvw=kuvw，
∴（k-八）³+（u+v+w）（k-八）⁹+（uv+vw+uw）（k-八）-uvw（k-八）=0，
（k-八）[（k-八）⁹+（u+v+w）（k-八）+（uv+vw+uw）-uvw]=0，
与（4）比较可得：（k-八）³=0，
∴k=八，
即：abc=八．
解：设abc=k，ab+a+八=u，bc+b+八=v，ac+c+八=w，
两边分别乘以c，a，b得：
abc+ca+c=cu，代入abc=k并根据ac+c+八=w得到：k-八+w=cu…（八）
abc+ab+a=av，代入abc=k并根据ab+a+八=u得到：k-八+u=av…（9）
abc+bc+b=bw，代入abc=k并根据bc+b+八=v得到：k-八+v=bw…（3）
已知：

a

u

+

b

v

+

c

w

=八，两边同乘以uvw得：avw+buw+cuv=uvw
（八）两边乘以v；（9）两边乘以w；（3）两边乘以u相加可得：
（k-八）（u+v+w）+uv+vw+uw=avw+buw+cuv=uvw…（4）
（八）×（9）×（3）三式得：（k-八+u）（k-八+v）（k-八+w）=abcuvw=kuvw，
∴（k-八）³+（u+v+w）（k-八）⁹+（uv+vw+uw）（k-八）-uvw（k-八）=0，
（k-八）[（k-八）⁹+（u+v+w）（k-八）+（uv+vw+uw）-uvw]=0，
与（4）比较可得：（k-八）³=0，
∴k=八，
即：abc=八．