试题

题目：
已知a，b，c为实数，且满足下式：a2+b2+c2=1，①，a(
1
b
+
1
c
)+b(
1
c
+
1
a
)+c(
1
a
+
1
b
)=-3；②求a+b+c的值．
答案
解：将①式变形如下，
a（
1
b
+
1
c
）+1+b（
1
c
+
1
a
）+1+c（
1
a
+
1
b
）+1=0，
即a（
1
a
+
1
b
+
1
c
）+b（
1
a
+
1
b
+
1
c
）+c（
1
a
+
1
b
+
1
c
）=0，
∴（a+b+c）（
1
a
+
1
b
+
1
c
）=0，
∴（a+b+c）·
bc+ac+ab
abc
=0，
∴a+b+c=0或bc+ac+ab=0．
若bc+ac+ab=0，则
（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（bc+ac+ab）=a2+b2+c2=1，
∴a+b+c=±1．
∴a+b+c的值为0，1，-1．
解：将①式变形如下，
a（
1
b
+
1
c
）+1+b（
1
c
+
1
a
）+1+c（
1
a
+
1
b
）+1=0，
即a（
1
a
+
1
b
+
1
c
）+b（
1
a
+
1
b
+
1
c
）+c（
1
a
+
1
b
+
1
c
）=0，
∴（a+b+c）（
1
a
+
1
b
+
1
c
）=0，
∴（a+b+c）·
bc+ac+ab
abc
=0，
∴a+b+c=0或bc+ac+ab=0．
若bc+ac+ab=0，则
（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（bc+ac+ab）=a2+b2+c2=1，
∴a+b+c=±1．
∴a+b+c的值为0，1，-1．
考点梳理
分式的化简求值．
先对①式进行变形，主要是给等式左边每一大项一个1，再整理成两式积等于0的形式，讨论们每个式子等于0的情况，最后求出a+b+c的所有值．
将3拆成1+1+1，最终都是将①式变形为两个式子之积等于零的形式，再利用两数相乘，积为0，讨论两数的值的情况，并会利用公式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（bc+ac+ab）及开方运算．
计算题．
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