试题

题目：
存在这样的有理数a，b，c满足a＜b＜c，使得分式
1
a-b
+
1
b-c
+
1
c-a
的值等于（　　）



答案
A
解：∵a，b，c为有理数，且满足a＜b＜c，
∴设a-b=x＜0，b-c=y＜0，c-a=z＞0，
则x+y+z=a-b+b-c+c-a=0，
∴（x+y+x）2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx=0，
∴xy+yz+zx=-
1
2
（x2+y2+z2）＜0且为有理数，
∵xyz＞0，
∴
1
x
+
1
y
+
1
z
=
yz+xz+xy
xyz
=
x2+y2+z2
2xyz
＜0且为有理数．
故选A．
考点梳理
分式的化简求值．
先根据a，b，c为有理数，且满足a＜b＜c设a-b=x＜0，b-c=y＜0，c-a=z＞0，则x+y+z=a-b+b-c+c-a=0，故可得出（x+y+x）2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx=0，即xy+yz+zx=-
1
2
（x2+y2+z2）＜0且为有理数，根据xyz＞0，可知
1
x
+
1
y
+
1
z
=
yz+xz+xy
xyz
=
x2+y2+z2
2xyz
＜0且为有理数，故可得出结论．
本题考查的是分式的化简求值，先根据题意设出-b=x＜0，b-c=y＜0，c-a=z＞0是解答此题的关键．
探究型．
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