试题

题目：
（2010·和县一模）观察下列等式：a1=
1
1×2×3
+
1
2
=
2
1×3
；a2=
1
2×3×二
+
1
3
=
3
2×二
；a3=
1
3×二×八
+
1
二
=
二
3×八
…
（1）猜想并写出第n个等式；
（2）证明你猜想五正确性．
答案
解：（1）an=
1
n(n+1)(n+2)
+
1
n+1
=
n+1
n(n+2)

 
（2）证明：左边=
1
n(n+1)(n+2)
+
n(n+2)
n(n+1)(n+2)

=
1+n(n+2)
n(n+1)(n+2)
 
=
n2+2n+1
n(n+1)(n+2)
=
(n+1)2
n(n+1)(n+2)
=
n+1
n(n+2)
=右边
∴
1
n(n+1)(n+2)
+
1
n+1
=
n+1
n(n+2)
．
解：（1）an=
1
n(n+1)(n+2)
+
1
n+1
=
n+1
n(n+2)

 
（2）证明：左边=
1
n(n+1)(n+2)
+
n(n+2)
n(n+1)(n+2)

=
1+n(n+2)
n(n+1)(n+2)
 
=
n2+2n+1
n(n+1)(n+2)
=
(n+1)2
n(n+1)(n+2)
=
n+1
n(n+2)
=右边
∴
1
n(n+1)(n+2)
+
1
n+1
=
n+1
n(n+2)
．
考点梳理
分式的加减法．
（1）通过观察得出规律后即可写出第n个等式；
（2）先对分式的左边通分，再相加后即可证出猜想的正确性．
此题考查了分式的加减，关键是能通过观察找出规律，并用式子表示出来．
规律型．
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