试题

题目：
已知f(x)=
1
1+x
，求f(
1
2009
)+f(
1
2008
)+…f(
1
2
)+f(1)+f(2)+…+f（2008）+f（2009）=
2009
2009
．
答案
2009

解：∵f（x）=
1
1+x
，
∴f（
1
x
）+f（x）=
1
1+
1
x
+
1
1+x
=
x
1+x
+
1
1+x
=
1+x
1+x
=1，
∴f(
1
2009
)+f(
1
2008
)+…f(
1
2
)+f(1)+f(2)+…+f（2008）+f（2009）=f（
1
2009
）+f（2009）+f（
1
2008
）+f（2008）+…+f（
1
2
）+f（2）+f（1）=1+1+…+1+1=2009．
故答案为：2009．
考点梳理
分式的加减法．
首先由f（x）=
1
1+x
，根据分式的运算，可得f（
1
x
）+f（x）=1，继而可得f(
1
2009
)+f(
1
2008
)+…f(
1
2
)+f(1)+f(2)+…+f（2008）+f（2009）=f（
1
2009
）+f（2009）+f（
1
2008
）+f（2008）+…+f（
1
2
）+f（2）+f（1），则可求得答案．
此题考查了分式的加减运算，考查了学生的观察归纳能力．此题难度中等，解题的关键是找到规律：f（
1
x
）+f（x）=1．
规律型．
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