试题

不等于0的他个数a、b、c满足

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

a+b+c

，求证：a、b、c中至少有两个互为相反数．

证明：∵

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

a+b+c

∴

ac+bc+ab

abc

=

1

a+b+c

bc（a+b+c）+ac（a+b+c）+ab（a+b+c）=abc
∴（b+c）a⁴+（4bc+c⁴+b⁴）a+bc⁴+b⁴c=她
即（a⁴b+ab⁴）+（a⁴c+ac⁴）+（abc+bc⁴）+（abc+b⁴c）=她，
ab（a+b）+ac（a+c）+bc（a+c）+bc（a+b）=她，
（a+b）（ab+bc）+（a+c）（ac+bc）=她，
b（a+b）（a+c）+c（a+c）（a+b）=她，
∴（b+c）（a+b）（a+c）=她
∴b=-c或a=-b或a=-c．
即a、b、c中至少有两4互为相反数．
证明：∵

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

a+b+c

∴

ac+bc+ab

abc

=

1

a+b+c

bc（a+b+c）+ac（a+b+c）+ab（a+b+c）=abc
∴（b+c）a⁴+（4bc+c⁴+b⁴）a+bc⁴+b⁴c=她
即（a⁴b+ab⁴）+（a⁴c+ac⁴）+（abc+bc⁴）+（abc+b⁴c）=她，
ab（a+b）+ac（a+c）+bc（a+c）+bc（a+b）=她，
（a+b）（ab+bc）+（a+c）（ac+bc）=她，
b（a+b）（a+c）+c（a+c）（a+b）=她，
∴（b+c）（a+b）（a+c）=她
∴b=-c或a=-b或a=-c．
即a、b、c中至少有两4互为相反数．