试题

（2013·荆州）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，连结AD₁、BC₁．若∠ACB=30°，AB=1，CC₁=x，△ACD与△A₁C₁D₁重叠部分的面积为s，则下列结论：
①△A₁AD₁≌△CC₁B；
②当x=1时，四边形ABC₁D₁是菱形；
③当x=2时，△BDD₁为等边三角形；
④s=

3

8

（x-2）² （0＜x＜2）；
其中正确的是（填序号）．

解①∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD，BC∥AD
∴∠DAC=∠ACB
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，
∴∠A₁=∠DAC，A₁D₁=AD，AA₁=CC₁，
在△A₁AD₁与△CC₁B中，

AA1=CC1 ∠A1=∠ACB A1D1=CB

，
∴△A₁AD₁≌△CC₁B（SAS），
故①正确；

②∵∠ACB=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AB=1，
∴AC=2，
∵x=1，
∴AC₁=1，
∴△AC₁B是等边三角形，
∴AB=BC₁，
又AB∥BC₁，
∴四边形ABC₁D₁是菱形，
故②正确；
③如图所示：

则可得BD=DD₁=BD₁=2，
∴△BDD₁为等边三角形，故③正确．
④易得△AC₁F∽△ACD，
∴

S△AC1F

S△ACD

=（

2-x

2

）²，
解得：S_△AC1F=

3

8

（x-2）² （0＜x＜2）；故④正确；
综上可得正确的是①②③④．
故答案为：①②③④．