试题

题目：
青果学院（2013·牡丹江）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②
AM
AB
=
AN
AC
；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=
2
PC．其中正确的个数是（　　）



答案
D
解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，
∴PM=
1
2
BC，PN=
1
2
BC，
∴PM=PN，正确；

②在△ABM与△ACN中，
∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，
∴△ABM∽△ACN，
∴
AM
AB
=
AN
AC
，正确；

青果学院③∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，
∴∠ABM=∠ACN=30°，
在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°-60°-30°×2=60°，
∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，
∴PM=PN=PB=PC，
∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，
∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形，正确；

④当∠ABC=45°时，∵CN⊥AB于点N，
∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，
∴BN=CN，
∵P为BC边的中点，
∴PN⊥BC，△BPN为等腰直角三角形
∴BN=
2
PB=
2
PC，正确．
故选D．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定；直角三角形斜边上的中线．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；
先证明△ABM∽△ACN，再根据相似三角形的对应边成比例可判断②正确；
先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°，再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，从而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断③正确；
当∠ABC=45°时，∠BCN=45°，由P为BC边的中点，得出BN=
2
PB=
2
PC，判断④正确．
本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键．
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