试题

题目：
（2010·郴州）一种千斤顶利用了四边形的不稳定性．如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A、C之间的距离）．若AB=40cm，当∠ADC从60°变为120°时，千斤顶升青果学院高了多少？（
2
=1.414，
3
=1.732，结果保留整数）
答案
青果学院解：连接AC，与BD相交于点O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ADB=∠CDB，AC=2AO．
当∠ADC=60°时，△ADC是等边三角形．
∴AC=AD=AB=40；
当∠ADC=120°时，∠ADO=60°，
∴AO=AD·sin∠ADO=40×
3
2
=20
3
，
∴AC=40
3
，
因此增加的高度为40
3
-40=40×（
3
-1）≈29（cm）．
青果学院解：连接AC，与BD相交于点O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ADB=∠CDB，AC=2AO．
当∠ADC=60°时，△ADC是等边三角形．
∴AC=AD=AB=40；
当∠ADC=120°时，∠ADO=60°，
∴AO=AD·sin∠ADO=40×
3
2
=20
3
，
∴AC=40
3
，
因此增加的高度为40
3
-40=40×（
3
-1）≈29（cm）．
考点梳理
解直角三角形的应用；等边三角形的性质；等边三角形的判定．
连接AC，分别求出当∠ADC从60°变为120°两种情况下AC的长，相减即可．
当∠ADC=60°时，△ADC是等边三角形，AC=AB；当∠ADC=120°时，在直角△AOD中，利用三角函数即可求得AC．
菱形的问题，可以通过连接两条对角线，转化为直角三角形求解．
压轴题．
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