试题

（2009·武汉）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论：
①△ACD≌△ACE；②△CDE为等边三角形；③

EH

BE

=2；④

S△EBC

S△EHC

=

AH

CH

．
其中结论正确的是（　　）
A．只有①②
B．只有①②④
C．只有③④
D．①②③④

B
解：由题意可知△ACD和△ACE全等，故①正确；
又因为∠BCE=15°，所以∠ACE=45°-15°=30°，所以∠ECD=60°，所以△CDE是等边三角形，故②正确；
∵AE=AE，△ACD≌△ACE，△CDE是等边三角形，
∴∠EAH=∠ADH=45°，AD=AE，
∴AH=EH=DH，AH⊥DE，
假设AH=EH=DH=x，
∴AE=

2

x，CE=2x，
∴CH=

3

x，
∴AC=（1+

3

）x，
∵AB=BC，
∴AB²+BC²=[（1+

3

）x]²，
解得：AB=

2 + 6

2

x，
BE=

6 - 2

2

x，
∴

EH

BE

=

x

6 - 2 2 x

=

6 + 2

2

，
故③错误；
④∵Rt△EBC与Rt△EHC共斜边EC，
∴S_△EBC：S_△EHC=

1

2

（BE×BC）：

1

2

（HE×HC）
=

1

2

（EC×sin15°×EC×cos15°）：

1

2

（EC×sin30°×EC×cos30°）
=

1

4

（EC×sin30°）：

1

4

（EC×sin60°）
=

1

8

EC：

3

8

EC=1：

3

=EH：CH=AH：CH，故④正确．
故其中结论正确的是①②④．
故选B．