试题

题目：
青果学院（2012·潮安县模拟）如图，△ABC中，∠ABC=60°，AD，CE分别为BC，AB上的高，F为AC的中点，试判断△DEF的形状，并证明你的结论．
答案
青果学院解：连接EF，△DEF为等边三角形，由∠ABC=60°，
易得：
BE
BC
=
BD
AB
=
1
2
．
∴△BDE∽△BAC，
∴
DE
AC
=
BD
AB
=
1
2
，
∴DE=
1
2
AC．
又∵F为中点，
∴在Rt△ADC中，DF=
1
2
AC，在Rt△ACE中，EF=
1
2
AC．
所以DE=DF=EF．
即：△DEF为等边三角形．
青果学院解：连接EF，△DEF为等边三角形，由∠ABC=60°，
易得：
BE
BC
=
BD
AB
=
1
2
．
∴△BDE∽△BAC，
∴
DE
AC
=
BD
AB
=
1
2
，
∴DE=
1
2
AC．
又∵F为中点，
∴在Rt△ADC中，DF=
1
2
AC，在Rt△ACE中，EF=
1
2
AC．
所以DE=DF=EF．
即：△DEF为等边三角形．
考点梳理
等边三角形的判定；相似三角形的判定．
已知∠ABC=60°，则根据三角函数求得
BE
BC
=
BD
AB
=
1
2
，又因为有公共角∠B，从而得到△BDE∽△BAC，根据对应边成比例可得到DE=
1
2
AC，同理可求得DF=
1
2
AC，EF=
1
2
AC，所以DE=DF=EF，即△DEF为等边三角形．
此题主要考查学生对相似三角形的判定和性质的应用，以及等边三角形的判定方法的理解及运用能力．
证明题．
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