试题

题目：
已知a2+3a+1=n，试求a4+
1
a4
的值．
答案
解：因为a2+3a+1=0，将等式两边同时除以a（a≠0）
所以a+
1
a
=-3，两边同时平方，得(a+
1
a
)2=(-3)2=9，
所以a2+
1
a2
=7，两边再次平方，得(a2+
1
a2
)2=72
所以a4+
1
a4
+2=49．
∴a4+
1
a4
=47．
解：因为a2+3a+1=0，将等式两边同时除以a（a≠0）
所以a+
1
a
=-3，两边同时平方，得(a+
1
a
)2=(-3)2=9，
所以a2+
1
a2
=7，两边再次平方，得(a2+
1
a2
)2=72
所以a4+
1
a4
+2=49．
∴a4+
1
a4
=47．
考点梳理
分式的加减法．
解决这类求值题时，应先观察题目的特点，就本题而言，如果想通过已知条件求出字母a的值再代入，可能比较困难，所以应考虑利用转化及整体思想解题．根据所求代数式a4+
1
a4
的结构分析，如果能求出a2+
1
a2
的值再平方就可以求出a4+
1
a4
的值．结合所给已知条件，不难将其转化为a+
1
a
=-3，这样就可以依次求得a2+
1
a2
、a4+
1
a4
的值了．
分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．就本节内容而言，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
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