试题

已知抛物线y=-x²+（m-4）x+2m+4与x轴交于点A（x₁，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．若点A关于y轴对称点是点D．
（1）求C、D两点坐标．
（2）求过点B、C、D三点的抛物线的解析式．
（3）若P是（2）中所求抛物线的顶点，H是这条抛物线上异于点C的另一点，且S_△ABH=24S_△BDP，求直线PH的解析式．

解：（1）∵点B（2，0）在y=-x²+（m-4）x+2m+4上，
∴-4+2（m-4）+2m+4=0，m=2，
∴y=-x²-2x+8，
∴C（0，8），A（-4，0），
∴D（4，0），

（2）设过B、C、D三点的抛物线的解析式为y=a（x-x_B）（x-x_D），
∵B（2，0）C（0，8）D（4，0），
∴y=a（x-2）（x-4），
即8=a（0-2）（0-4），
∴a=1，
∴y=（x-2）（x-4）=x²-6x+8，

（3）y=x²-6x+9-1=（x-3）²-1，
∴P（3，-1），
∴S_△BPD=

1

2

×2×1，
∴S_△ABH=24，
∴

1

2

AB·|yH|=24|y_H|=8，
∴y_H=±8，
当y=-8时x²-6x+8=-8无解，
当y=8时x²-6x+8=8，
∴x=0或6，
又∵点H异于点C，
∴H（6，8），
又∵P（3，-1），
∴直线PH的解析式为y=3x-10．
解：（1）∵点B（2，0）在y=-x²+（m-4）x+2m+4上，
∴-4+2（m-4）+2m+4=0，m=2，
∴y=-x²-2x+8，
∴C（0，8），A（-4，0），
∴D（4，0），

（2）设过B、C、D三点的抛物线的解析式为y=a（x-x_B）（x-x_D），
∵B（2，0）C（0，8）D（4，0），
∴y=a（x-2）（x-4），
即8=a（0-2）（0-4），
∴a=1，
∴y=（x-2）（x-4）=x²-6x+8，

（3）y=x²-6x+9-1=（x-3）²-1，
∴P（3，-1），
∴S_△BPD=

1

2

×2×1，
∴S_△ABH=24，
∴

1

2

AB·|yH|=24|y_H|=8，
∴y_H=±8，
当y=-8时x²-6x+8=-8无解，
当y=8时x²-6x+8=8，
∴x=0或6，
又∵点H异于点C，
∴H（6，8），
又∵P（3，-1），
∴直线PH的解析式为y=3x-10．