试题

题目：
青果学院（2010·武昌区模拟）抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C；
（1）Q（2，k）是该抛物线上一点，且AQ⊥BQ，则ak的值为
-1
-1
．
（2）若点A（-1，0），B（3，0）C（0，3）．
①求抛物线的解析式；
②点M在x轴上方抛物线上，点N在y轴负半轴上，且四边形ACMN是等腰梯形，求点M的坐标．
答案
-1

解：（1）如图，过Q点作QE⊥AB于E．假设点A（x1，0）、点B（x2，0），
∵AQ⊥BQ，EQ⊥AB，
∴Rt△AEQ∽Rt△QEB，青果学院
∴EQ2=AE·BE，
又∵AE·BE=（2-x1）（x2-2）=-x1x2+2（x1+x2）-4=-
c
a
-
2b
a
-4，CQ=|k|，
∴k2=-
c
a
-
2b
a
-4，
∴-ak2=4a+2b+c，
∵点Q是抛物线上一点，
∴4a+2b+c=k．
∴-ak2=k，
即ak=-1．
故答案为：-1．

（2）①
a-b+c=0
9a+3b+c=0
c=3
，
解得：
a=-1
b=2
c=3
，青果学院
∴y=-x2+2x+3；（6分）
②连接AM交y轴于P，由等腰梯形的对称性得AP=CP，（8分）
设OP=m，则1+m2=（3-m）2，
解得：m=
4
3
，
则点P坐标为（0，
4
3
）
设直线AM的解析式为y=px+q，则
p-q=0
q=
4
3
，
解得p=q=
4
3
，
∴直线AM的解析式为y=
4
3
x+
4
3
，（10分）
解方程组
y=-x2+2x+3
y=
4
3
x+
4
3
，
得
x=
5
3
y=
32
9
或
x=-1
y=0
（舍）
∴点M（
5
3
，
32
9
）．
考点梳理
二次函数综合题．
（1）首先过Q点作QE⊥AB于E．结合AQ⊥BQ，不难证得Rt△AEQ∽Rt△AQB，进而得到EQ2=AE·BE．分别用A、B、Q点的横坐标表示AE·BE=（2-x1）（x2-2）=-x1x2+2（x1+x2）-4．由于A、B两点是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点，利用根与系数的关系，不难得到x1+x2=-
b
a
，x1x2=-
c
a
．根据已知Q（2，k）是该抛物线上一点，可得到4a+2b+c=k．将x1·x2 、x1+x2代入AE·BE的代数式结合4a+2b+c=k即可求得ak的值．
（2）①由于用A、B、C三点在抛物线y=ax2+bx+c上，将三点的坐标值代入联立组成方程组可解得a、b、c的值．则抛物线的解析式即可确定．
②连接AM交y轴于P，由等腰梯形的对称性得AP=CP．因而利用勾股定理可求得P点的坐标值，那么A、P两点的坐标可求得直线AP的解析式．M点为直线AP与抛物线的交点，联立组成方程组即可解得M点的坐标．
本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法、等腰梯形的对称性、相似三角形的判定与性质等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．
数形结合．
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