试题

（2010·石景山区一模）已知：如图1，等边△ABC为2

3

，一边在x上且A（1-

3

，0），AC交y轴于点，过点E作EF∥AB交BC于点F．
（1）直接写出点B、C的坐标；
（2）若直线y=kx-1（k≠0）将四边形EABF的面积等分，求k的值；
（3）如图2，过点A、B、C线与y轴交于点D，M为线段OB上的一个动点，过x轴上一点G（-2，0）作DM的垂线，垂足为H，直线GH交y轴于点N，当M在线段OB上运动时，现给出两个结论：①∠GNM=∠CDM；②∠MGN=∠DCM，其中只有一个是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明．

解：（1）易知OA=

3

-1，AB=2

3

，
故OB=AB-OA=

3

+1；
易求得等边△ABC的高为：3，
∴B（1+

3

，0）；
由于C点在线段AB的垂直平分线上，
因此C点的横坐标为：

1

2

（1+

3

+

3

-1）=1，
∴C（1，3）；
故B（1+

3

，0）、C（1，3）．（2分）

（2）过点C作CP⊥AB于P，交EF于点Q，取PQ的中点R；
∵△ABC是等边三角形，A（1-

3

，0），
∴∠EAO=60°，
在Rt△EOA中，∠EOA=90°，
∴EO=AO·tan60°=-（1-

3

）×

3

=3-

3

，
∴E（0，3-

3

）；
∵EF∥AB交BC于F，C（1，3），
∴R（1，

3- 3

2

）；
∵直线y=kx-1将四边形EABF的面积两等分，
∴直线y=kx-1必过点R（1，

3- 3

2

），
∴k-1=

3- 3

2

，
∴k=

5- 3

2

．（4分）

（3）正确结论：①∠GNM=∠CDM，
证明：可求得过A、B、C的抛物线解析式为y=-x²+2x+2；（5分）
∴D（0，2），
∵G（-2，0），
∴OG=OD，
由题意∠GON=∠DOM=90°，
又∵∠GNO=∠DNH，
∴∠NGO=∠MDO，
∴△NGO≌△MDO，
∴∠GNO=∠DMO，OM=ON，
∴∠ONM=∠NMO=45°，
过点D作DT⊥CP于T；
∴DT=CT=1，
∴∠CDT=∠DCT=45°，
由题意可知DT∥AB，
∴∠TDM=∠DMO，
∴∠TDM+45°=∠DMO+45°=∠GNO+45°，
∴∠TDM+∠CDT=∠GNO+∠ONM，
即：∠GNM=∠CDM．（7分）
解：（1）易知OA=

3

-1，AB=2

3

，
故OB=AB-OA=

3

+1；
易求得等边△ABC的高为：3，
∴B（1+

3

，0）；
由于C点在线段AB的垂直平分线上，
因此C点的横坐标为：

1

2

（1+

3

+

3

-1）=1，
∴C（1，3）；
故B（1+

3

，0）、C（1，3）．（2分）

（2）过点C作CP⊥AB于P，交EF于点Q，取PQ的中点R；
∵△ABC是等边三角形，A（1-

3

，0），
∴∠EAO=60°，
在Rt△EOA中，∠EOA=90°，
∴EO=AO·tan60°=-（1-

3

）×

3

=3-

3

，
∴E（0，3-

3

）；
∵EF∥AB交BC于F，C（1，3），
∴R（1，

3- 3

2

）；
∵直线y=kx-1将四边形EABF的面积两等分，
∴直线y=kx-1必过点R（1，

3- 3

2

），
∴k-1=

3- 3

2

，
∴k=

5- 3

2

．（4分）

（3）正确结论：①∠GNM=∠CDM，
证明：可求得过A、B、C的抛物线解析式为y=-x²+2x+2；（5分）
∴D（0，2），
∵G（-2，0），
∴OG=OD，
由题意∠GON=∠DOM=90°，
又∵∠GNO=∠DNH，
∴∠NGO=∠MDO，
∴△NGO≌△MDO，
∴∠GNO=∠DMO，OM=ON，
∴∠ONM=∠NMO=45°，
过点D作DT⊥CP于T；
∴DT=CT=1，
∴∠CDT=∠DCT=45°，
由题意可知DT∥AB，
∴∠TDM=∠DMO，
∴∠TDM+45°=∠DMO+45°=∠GNO+45°，
∴∠TDM+∠CDT=∠GNO+∠ONM，
即：∠GNM=∠CDM．（7分）