试题

（2010·同安区质检）已知：如图，抛物线y=ax²+bx+2与x轴的交点是A（3，0）、B（6，0），与y轴的交点是C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设P（x，y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q．
①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？
②是否存在这样的点P，使△OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线过A（3，0），B（6，0），
∴

9a+3b+2=0 36a+6b+2=0

，
解得：

a= 1 9 b=-1

，
∴所求抛物线的函数表达式是y=

1

9

x²-x+2．

（2）①∵当x=0时，y=2，
∴点C的坐标为（0，2）．
设直线BC的函数表达式是y=kx+b．
则有

6k+b=0 b=2

，
解得：

k=- 1 3 b=2

．
∴直线BC的函数表达式是y=-

1

3

x+2．
∵0＜x＜6，点P、Q的横坐标相同，
∴PQ=y_Q-y_P=（-

1

3

x+2）-（

1

9

x²-x+2）
=-

1

9

x²+

2

3

x
=-

1

9

（x-3）²+1
∴当x=3时，线段PQ的长度取得最大值．最大值是1．

②解：当∠OAQ=90°时，点P与点A重合，
∴P（3，0）
当∠QOA=90°时，点P与点C重合，
∴x=0（不合题意）
当∠OQA=90°时，
设PQ与x轴交于点D．
∵∠ODQ+∠ADQ=90°，∠QAD+∠AQD=90°，
∴∠OQD=∠QAD．
又∵∠ODQ=∠QDA=90°，
∴△ODQ∽△QDA．
∴

DQ

OD

=

DA

DQ

，即DQ²=OD·DA．
∴（-

1

3

x+2）²=x（3-x），
10x²-39x+36=0，
∴x₁=

3

2

，x₂=

12

5

，
∴y₁=

1

9

×（

3

2

）²-

3

2

+2=

3

4

；
y₂=

1

9

×（

12

5

）²-

12

5

+2=

6

25

；
∴P（

3

2

，

3

4

）或P（

12

5

，

6

25

）．
∴所求的点P的坐标是P（3，0）或P（

3

2

，

3

4

）或P（

12

5

，

6

25

）．
解：（1）∵抛物线过A（3，0），B（6，0），
∴

9a+3b+2=0 36a+6b+2=0

，
解得：

a= 1 9 b=-1

，
∴所求抛物线的函数表达式是y=

1

9

x²-x+2．

（2）①∵当x=0时，y=2，
∴点C的坐标为（0，2）．
设直线BC的函数表达式是y=kx+b．
则有

6k+b=0 b=2

，
解得：

k=- 1 3 b=2

．
∴直线BC的函数表达式是y=-

1

3

x+2．
∵0＜x＜6，点P、Q的横坐标相同，
∴PQ=y_Q-y_P=（-

1

3

x+2）-（

1

9

x²-x+2）
=-

1

9

x²+

2

3

x
=-

1

9

（x-3）²+1
∴当x=3时，线段PQ的长度取得最大值．最大值是1．

②解：当∠OAQ=90°时，点P与点A重合，
∴P（3，0）
当∠QOA=90°时，点P与点C重合，
∴x=0（不合题意）
当∠OQA=90°时，
设PQ与x轴交于点D．
∵∠ODQ+∠ADQ=90°，∠QAD+∠AQD=90°，
∴∠OQD=∠QAD．
又∵∠ODQ=∠QDA=90°，
∴△ODQ∽△QDA．
∴

DQ

OD

=

DA

DQ

，即DQ²=OD·DA．
∴（-

1

3

x+2）²=x（3-x），
10x²-39x+36=0，
∴x₁=

3

2

，x₂=

12

5

，
∴y₁=

1

9

×（

3

2

）²-

3

2

+2=

3

4

；
y₂=

1

9

×（

12

5

）²-

12

5

+2=

6

25

；
∴P（

3

2

，

3

4

）或P（

12

5

，

6

25

）．
∴所求的点P的坐标是P（3，0）或P（

3

2

，

3

4

）或P（

12

5

，

6

25

）．