试题

如图，已知：抛物线与坐标轴相交于点A、B、C，顶点D的坐标为D（-1，4），又知C（-4，0）
（1）求此抛物线的解析式．
（2）设直线BD与y轴相交于点E，求线段AE的长．
（3）设P（t，0）是线段CB上的一个动点，用S表示四边形CPED的面积．试求S关于t的函数关系式，写出自变量t的取值范围．

解：（1）∵顶点D的坐标为D（-1，4），
∴设抛物线的解析式为y=a（x+1）²+4又知抛物线过C（-4，0），
∴0=a（-4+1）²+4，
∴解得：a=-

4

9

，
∴此抛物线的解析式为y=-

4

9

(x+1)2+4．

（2）在y=-

4

9

(x+1)2+4中令x=0得：y=

32

9

，
∴A（0，

32

9

），∴OA=

32

9

，
当0=-

4

9

（x+1）²+4，
解得：x₁=-4，x₂=2，
可求得B（2，0）设直线BD的解析式为y=kx+b，
得

0=2k+b 4=-k+b

，
解得

k=- 4 3 b= 8 3

，
故直线BD的解析式为：y=-

4

3

x+

8

3

，
∵当x=0，y=

8

3

，
∴E（0，

8

3

），
∴线段AE的长=

32

9

-

8

3

=

8

9

．

（3）如图，
∵P（t，0）是线段CB上的一个动点，
∴BP=2-t
∴S_△PBE=

1

2

BP×OE=

1

2

（2-t）×

8

3

=

8

3

-

4

3

t，
又S△BCD=

1

2

×6×4=12，
∴四边形CPED的面积S=

28

3

+

4

3

t（-4＜t＜2）．
解：（1）∵顶点D的坐标为D（-1，4），
∴设抛物线的解析式为y=a（x+1）²+4又知抛物线过C（-4，0），
∴0=a（-4+1）²+4，
∴解得：a=-

4

9

，
∴此抛物线的解析式为y=-

4

9

(x+1)2+4．

（2）在y=-

4

9

(x+1)2+4中令x=0得：y=

32

9

，
∴A（0，

32

9

），∴OA=

32

9

，
当0=-

4

9

（x+1）²+4，
解得：x₁=-4，x₂=2，
可求得B（2，0）设直线BD的解析式为y=kx+b，
得

0=2k+b 4=-k+b

，
解得

k=- 4 3 b= 8 3

，
故直线BD的解析式为：y=-

4

3

x+

8

3

，
∵当x=0，y=

8

3

，
∴E（0，

8

3

），
∴线段AE的长=

32

9

-

8

3

=

8

9

．

（3）如图，
∵P（t，0）是线段CB上的一个动点，
∴BP=2-t
∴S_△PBE=

1

2

BP×OE=

1

2

（2-t）×

8

3

=

8

3

-

4

3

t，
又S△BCD=

1

2

×6×4=12，
∴四边形CPED的面积S=

28

3

+

4

3

t（-4＜t＜2）．