试题

已知抛物线y=ax²经过点A（2，1）
（1）求这个函数的解析式；
（2）写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标；
（3）求△OAB的面积；
（4）抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半？若存在，求出C点的坐标，若不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线y=ax²经过点A（2，1），
∴4a=1，
解得a=

1

4

，
∴这个函数的解析式为y=

1

4

x²；

（2）∵点A（2，1），
∴点A关于y轴的对称点B的坐标为（-2，1）；

（3）∵点A（2，1），B（-2，1），
∴AB=2-（-2）=2+2=4，
S_△OAB=

1

2

×4×1=2；

（4）假设存在点C，且点C到AB的距离为h，
则S_△ABC=

1

2

·AB·h=

1

2

×4h，
∵△ABC的面积等于△OAB面积的一半，
∴

1

2

×4h=

1

2

×2，
解得h=

1

2

，
①当点C在AB下面时，点C的纵坐标为1-

1

2

=

1

2

，
此时，

1

4

x²=

1

2

，
解得x₁=

2

，x₂=-

2

，
点C的坐标为（

2

，

1

2

）或（-

2

，

1

2

），
②点C在AB的上面时，点C的纵坐标为1+

1

2

=

3

2

，
此时

1

4

x²=

3

2

，
解得x₁=

6

，x₂=-

6

，
点C的坐标为（

6

，

3

2

）或（-

6

，

3

2

），
综上所述，存在点C（

2

，

1

2

）或（-

2

，

1

2

）或（

6

，

3

2

）或（-

6

，

3

2

），使△ABC的面积等于△OAB面积的一半．
解：（1）∵抛物线y=ax²经过点A（2，1），
∴4a=1，
解得a=

1

4

，
∴这个函数的解析式为y=

1

4

x²；

（2）∵点A（2，1），
∴点A关于y轴的对称点B的坐标为（-2，1）；

（3）∵点A（2，1），B（-2，1），
∴AB=2-（-2）=2+2=4，
S_△OAB=

1

2

×4×1=2；

（4）假设存在点C，且点C到AB的距离为h，
则S_△ABC=

1

2

·AB·h=

1

2

×4h，
∵△ABC的面积等于△OAB面积的一半，
∴

1

2

×4h=

1

2

×2，
解得h=

1

2

，
①当点C在AB下面时，点C的纵坐标为1-

1

2

=

1

2

，
此时，

1

4

x²=

1

2

，
解得x₁=

2

，x₂=-

2

，
点C的坐标为（

2

，

1

2

）或（-

2

，

1

2

），
②点C在AB的上面时，点C的纵坐标为1+

1

2

=

3

2

，
此时

1

4

x²=

3

2

，
解得x₁=

6

，x₂=-

6

，
点C的坐标为（

6

，

3

2

）或（-

6

，

3

2

），
综上所述，存在点C（

2

，

1

2

）或（-

2

，

1

2

）或（

6

，

3

2

）或（-

6

，

3

2

），使△ABC的面积等于△OAB面积的一半．