试题

（2012·包头）已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A，D两点，抛物线y=-

1

2

x²+bx+c经过点A，D，点B是抛物线与x轴的另一个交点．
（1）求这条抛物线的解析式及点B的坐标；
（2）设点M是直线AD上一点，且S_△AOM：S_△OMD=1：3，求点M的坐标；
（3）如果点C（2，y）在这条抛物线上，在y轴的正半轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）令y=0，则2x+4=0，
解得x=-2，
令x=0，则y=4，
所以，点A（-2，0）、D（0，4）；
代入抛物线y=-

1

2

x²+bx+c中，得：

- 1 2 ×4-2b+c=0 c=4

，解得

b=1 c=4

∴抛物线的解析式：y=-

1

2

x²+x+4；
令y=0，得：0=-

1

2

x²+x+4，解得 x₁=-2、x₂=4
∴点B（4，0）．

（2）∵S_△AOM：S_△OMD=1：3，∴AM：MD=1：3；
过点M作MN⊥x轴于N，如右图；
①当点M在线段AD上时，AM：AD=1：4；
∵MN∥OD，∴△AMN∽△ADO
∴MN=

1

4

OD=1、AN=

1

4

OA=

1

2

、ON=OA-AN=2-

1

2

=

3

2

；
∴M（-

3

2

，1）；
②当点M在线段DA的延长线上时，AM：AD=1：2；
∵MN∥OD，∴△AMN∽△ADO
∴MN=

1

2

OD=2、AN=

1

2

OA=1、ON=OA+AN=3；
∴M（-3，-2）；
综上，符合条件的点M有两个，坐标为：（-

3

2

，1）、（-3，-2）．

（3）当x=2时，y=-

1

2

x²+x+4=4，∴点C（2，4）；
设点P的坐标为（0，m）（m＞0），则有：
CP²=m²-8m+20、BP²=m²+16、BC²=20；
①当CP=BP时，m²-8m+20=m²+16，解得 m=

1

2

；
②当CP=BC时，m²-8m+20=20，解得 m₁=0（舍）、m₂=8（舍去）；
③当BP=BC时，m²+16=20，解得 m₁=-2（舍）、m₂=2；
综上，存在符合条件的点P，坐标为（0，

1

2

）或（0，2）．
解：（1）令y=0，则2x+4=0，
解得x=-2，
令x=0，则y=4，
所以，点A（-2，0）、D（0，4）；
代入抛物线y=-

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x²+bx+c中，得：

- 1 2 ×4-2b+c=0 c=4

，解得

b=1 c=4

∴抛物线的解析式：y=-

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x²+x+4；
令y=0，得：0=-

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x²+x+4，解得 x₁=-2、x₂=4
∴点B（4，0）．

（2）∵S_△AOM：S_△OMD=1：3，∴AM：MD=1：3；
过点M作MN⊥x轴于N，如右图；
①当点M在线段AD上时，AM：AD=1：4；
∵MN∥OD，∴△AMN∽△ADO
∴MN=

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OD=1、AN=

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4

OA=

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、ON=OA-AN=2-

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=

3

2

；
∴M（-

3

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，1）；
②当点M在线段DA的延长线上时，AM：AD=1：2；
∵MN∥OD，∴△AMN∽△ADO
∴MN=

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OD=2、AN=

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OA=1、ON=OA+AN=3；
∴M（-3，-2）；
综上，符合条件的点M有两个，坐标为：（-

3

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，1）、（-3，-2）．

（3）当x=2时，y=-

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x²+x+4=4，∴点C（2，4）；
设点P的坐标为（0，m）（m＞0），则有：
CP²=m²-8m+20、BP²=m²+16、BC²=20；
①当CP=BP时，m²-8m+20=m²+16，解得 m=

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；
②当CP=BC时，m²-8m+20=20，解得 m₁=0（舍）、m₂=8（舍去）；
③当BP=BC时，m²+16=20，解得 m₁=-2（舍）、m₂=2；
综上，存在符合条件的点P，坐标为（0，

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）或（0，2）．