试题

如图，抛物线y=

3

8

x²-

3

4

x+c分别交x轴的负半轴和正半轴于点A（x₁，0）、B（x₂，0），交y轴的负轴于点C，且tan∠OAC=2tan∠OBC，动点P从点A出发向终点B运动，同时动点Q从点B出发向终点C运动，P、Q的运动速度均为每秒1个单位长度，且当其中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动的时间是t秒．

（1）试说明OB=2OA；
（2）求抛物线的解析式；
（3）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（4）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？

解：（1）由条件得：

OC

OA

=2×

OC

OB

∴OB=2OA．

（2）由条件与第（1）题的结论得：-2x₁=x₂，
根据抛物线对称轴可得，x₁+x₂=2，
x₁x₂=

8

3

c，
解得：x₁=-2，x₂=4，c=-3；
抛物线的解析式；y=

3

8

x²-

3

4

x-3；

（3）由条件得：BP=6-t，BQ=t，
令y=

3

8

x²-

3

4

x-3中y=0，得到3x²-6x-24=0，
解得：x=-2或4，
即OB=4，OA=2，
又∵OC=3，
在直角三角形BOC中，根据勾股定理得：BC=5，
∴cos∠ABC=

BO

BC

=

4

5

，
在直角三角形PBQ中，分BQ为斜边或PB为斜边，
可得

6-t

t

=

4

5

或

t

6-t

=

4

5

，
∴t=

10

3

秒或t=

8

3

秒；

（4）作QE⊥AB，
∵BP=6-t，BQ=t，PQ=

EQ2+PE2

=

( 3t 5 )2+( 4t 5 -6+t)2

，
t=6-t，
∴t=3秒
或

4t

5

=

6-t

2

∴t=

30

13

秒；
或

( 3t 5 )2+(6-t- 4t 5

)2=6-t，
∴t=0（舍去），t=

48

13

．
解：（1）由条件得：

OC

OA

=2×

OC

OB

∴OB=2OA．

（2）由条件与第（1）题的结论得：-2x₁=x₂，
根据抛物线对称轴可得，x₁+x₂=2，
x₁x₂=

8

3

c，
解得：x₁=-2，x₂=4，c=-3；
抛物线的解析式；y=

3

8

x²-

3

4

x-3；

（3）由条件得：BP=6-t，BQ=t，
令y=

3

8

x²-

3

4

x-3中y=0，得到3x²-6x-24=0，
解得：x=-2或4，
即OB=4，OA=2，
又∵OC=3，
在直角三角形BOC中，根据勾股定理得：BC=5，
∴cos∠ABC=

BO

BC

=

4

5

，
在直角三角形PBQ中，分BQ为斜边或PB为斜边，
可得

6-t

t

=

4

5

或

t

6-t

=

4

5

，
∴t=

10

3

秒或t=

8

3

秒；

（4）作QE⊥AB，
∵BP=6-t，BQ=t，PQ=

EQ2+PE2

=

( 3t 5 )2+( 4t 5 -6+t)2

，
t=6-t，
∴t=3秒
或

4t

5

=

6-t

2

∴t=

30

13

秒；
或

( 3t 5 )2+(6-t- 4t 5

)2=6-t，
∴t=0（舍去），t=

48

13

．