试题

如图，梯形AOBC中，AC∥OB，AO⊥OB，OA=2，OB=5，tanB是方程2x²+7x-4=0的一个根，以O为坐标原点，OB、OA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系：
（1）求经过O、C、B三点的抛物线的解析式；
（2）延长AC交（1）中的抛物线于点D，求线段CD的长；
（3）若平行于x轴的一条直线交（1）中的抛物线于点M、N，以MN为直径的圆正好与x轴相切，求此圆的半径．

解：（1）由已知得A（0，2），B（5，0）；
解方程2x²+7x-4=0
得：x=-4，x=

1

2

；
∵tanB＞0，
∴tanB=

1

2

；
过点C作CE⊥OB于点E，则CE=AO=2；
∴tanB=

CE

BE

，
∴BE=4；
∴OE=OB-BE=1，
∴C（1，2）；
∵抛物线经过点O（0，0）和点B（5，0），
设抛物线的解析式为y=ax（x-5），
又∵抛物线经过点C（1，2），
∴a=-

1

2

；
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x（x-5），
即y=-

1

2

x²+

5

2

x；

（2）由题意设D（t，2），其中t≠0；
∵点D在抛物线上，
∴t=4，
∴点D（4，2），CD=3；

（3）抛物线的对称轴：直线x=

5

2

；
设点M（m，-

1

2

m²+

5

2

m），
∴MP=

5

2

-m；
∴

5

2

-m=|-

1

2

m²+

5

2

m|，
∴m=

7± 29

2

或m=

3± 29

2

；
故此圆的半径为

2+ 29

2

．
解：（1）由已知得A（0，2），B（5，0）；
解方程2x²+7x-4=0
得：x=-4，x=

1

2

；
∵tanB＞0，
∴tanB=

1

2

；
过点C作CE⊥OB于点E，则CE=AO=2；
∴tanB=

CE

BE

，
∴BE=4；
∴OE=OB-BE=1，
∴C（1，2）；
∵抛物线经过点O（0，0）和点B（5，0），
设抛物线的解析式为y=ax（x-5），
又∵抛物线经过点C（1，2），
∴a=-

1

2

；
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x（x-5），
即y=-

1

2

x²+

5

2

x；

（2）由题意设D（t，2），其中t≠0；
∵点D在抛物线上，
∴t=4，
∴点D（4，2），CD=3；

（3）抛物线的对称轴：直线x=

5

2

；
设点M（m，-

1

2

m²+

5

2

m），
∴MP=

5

2

-m；
∴

5

2

-m=|-

1

2

m²+

5

2

m|，
∴m=

7± 29

2

或m=

3± 29

2

；
故此圆的半径为

2+ 29

2

．