试题

如图所示，在平面直角坐标系xoy中，Rt△AOB的直角边OB，OA分别在x轴上和y轴上，其中OA=2，OB=4，现将Rt△AOB绕着直角顶点O按逆时针方向旋转90°得到△COD，已知一抛物线经过C、D、B三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）连接DB，P是线段BC上一动点（P不与B、C重合），过点P作PE∥BD交CD于E，则当△DEP面积最大时，求PE的解析式；
（3）作点D关于此抛物线对称轴的对称点F，连接CF交对称轴于点M，抛物线上一动点R，x轴上一动点Q，则在抛物线上是否存在点R，x轴上是否存在点Q，使得以C、M、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．

解：（1）∵△COD≌△AOB
∴OC=OA，OD=OB
∴OC=2，OD=4
∴C（-2，0）D（0，4）B（4，0）
∴设此抛物线的解析式y=ax²+bx+4（a≠0）
将C（-2，O）B（4，0）代入

4a-2b+4=0 16a+4b+4=0

∴

a=- 1 2 b=1

∴抛物线的解析式为：y=-

1

2

x2+x+4（4分）

（2）过E作EH⊥x轴，
∵S_△DEP=S_△DCP-S_△ECP
=

1

2

CP·OD-

1

2

CP·EH
=

1

2

CP（OD-EH）
设点P（m，0）
∵P在BC之间运动
∴CP=m+2
∵PE∥BD
∴△CEP∽△CDB
∴

EH

OD

=

CP

BC

∴

EH

4

=

m+2

6

∴EH=

2m+4

3

∴S_△DEP=

1

2

(m+2)(4-

2m+4

3

)
=-

1

3

(m-1)2+3（6分）
∴当m=1时，S_△DEP有最大值为3，此时P（1，0）（7分）
又∵D（0，4）
又设BD的解析式y=kx+4（k≠0）
将B（4，0）代入0=4k+4
k=-1
∴BD：y=-x+4
∵PE∥BD
∴设PE：y=-x+b，
将P（1，0）代入
即0=-1+b，
解得b=1
∴PE的解析式为：y=-x+1；（8分）

（3）存在
∵D（0，4）F（2，4）
CF：y=x+2
∴M（1，3）
若以CM为边
在y=-

1

2

x2+x+4中令y=3
解得：x₁=1+

3

，x₂=1-

3

∴Q₁（-2+

3

，0）Q₂（-2-

3

，0）（10分）
令y=-3，-

1

2

x2+x+4=-3
解得：x₁=1+

15

，x₂=1-

15

Q₃（4+

15

，0）Q₄（4-

15

，0）（12分）
若以CM为对角线，Q₅与Q₁重合
∴共有四个点Q．
解：（1）∵△COD≌△AOB
∴OC=OA，OD=OB
∴OC=2，OD=4
∴C（-2，0）D（0，4）B（4，0）
∴设此抛物线的解析式y=ax²+bx+4（a≠0）
将C（-2，O）B（4，0）代入

4a-2b+4=0 16a+4b+4=0

∴

a=- 1 2 b=1

∴抛物线的解析式为：y=-

1

2

x2+x+4（4分）

（2）过E作EH⊥x轴，
∵S_△DEP=S_△DCP-S_△ECP
=

1

2

CP·OD-

1

2

CP·EH
=

1

2

CP（OD-EH）
设点P（m，0）
∵P在BC之间运动
∴CP=m+2
∵PE∥BD
∴△CEP∽△CDB
∴

EH

OD

=

CP

BC

∴

EH

4

=

m+2

6

∴EH=

2m+4

3

∴S_△DEP=

1

2

(m+2)(4-

2m+4

3

)
=-

1

3

(m-1)2+3（6分）
∴当m=1时，S_△DEP有最大值为3，此时P（1，0）（7分）
又∵D（0，4）
又设BD的解析式y=kx+4（k≠0）
将B（4，0）代入0=4k+4
k=-1
∴BD：y=-x+4
∵PE∥BD
∴设PE：y=-x+b，
将P（1，0）代入
即0=-1+b，
解得b=1
∴PE的解析式为：y=-x+1；（8分）

（3）存在
∵D（0，4）F（2，4）
CF：y=x+2
∴M（1，3）
若以CM为边
在y=-

1

2

x2+x+4中令y=3
解得：x₁=1+

3

，x₂=1-

3

∴Q₁（-2+

3

，0）Q₂（-2-

3

，0）（10分）
令y=-3，-

1

2

x2+x+4=-3
解得：x₁=1+

15

，x₂=1-

15

Q₃（4+

15

，0）Q₄（4-

15

，0）（12分）
若以CM为对角线，Q₅与Q₁重合
∴共有四个点Q．