试题

如图，抛物线F：y=ax²+bx十c（a＜0）与y轴交相交于点C（0．t）．直线CD经过点C且平行于x轴，设直线CD与抛物线F的交点为点C、D．抛物线F与x轴的交点为点A，B，连接AC、BC．
（1）当a=-

1

2

，b=-

3

2

，t=2时，探究△ABC的形状，并说明理由．
（2）若△ABC为直角三角形，求t的值（用含a的式子表示）．
（3）在（2）的条件下，若点B关于y轴的对称点B′．且BB′=BC，连接AD，求梯形ABCD的面积（用含a的式子表示）．

解：（1）当a=-

1

2

，b=-

3

2

，t=2时，△ABC是直角三角形．理由如下：
由题意，得-

1

2

x²-

3

2

x+2=0，
解得x₁=1，x₂=-4，
∴A（-4，0），B（1，0），AB=5，
又∵C（0，2），OC⊥AB，
∴AC²=OA²+OC²=16+4=20，BC²=OB²+OC²=1+4=5，
∴AC²+BC²=20+5=25=AB²，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；

（2）∵△ABC为直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠COB=90°，∠OAC=∠OCB=90°-∠OCA，
∴△AOC∽△COB，
∴OA：OC=OC：OB，
∴OC²=OA·OB．
设抛物线y=ax²+bx十c与x轴的交点A的坐标为（x₁，0），B的坐标为（x₂，0），
则x₁·x₂=

c

a

=

t

a

，
∴t²=-x₁·x₂=-

t

a

，
解得t₁=-

1

a

，t₂=0（不合题意舍去），
故所求t的值为-

1

a

；

（3）如图，连接B′C、B′D．
∵点B关于y轴的对称点B′，
∴BC=B′C，
∵BB′=BC，
∴BB′=BC=B′C，
∴∠CBB′=∠BCB′=60°，
∴∠ACB′=∠ACB-∠BCB′=90°-60°=30°，
∴∠B′AC=∠CB′B-∠ACB′=60°-30°=30°，
∴∠ACB′=∠B′AC，
∴AB′=B′C=B′B，
∴B′为AB中点，B′在对称轴上．
易证△AB′D、△B′CD、△B′BC是全等的等边三角形，
∴梯形ABCD的面积=△B′BC面积的3倍=△OBC面积的6倍．
∵在Rt△OBC中，∠BOC=90°，∠OBC=60°，OC=t=-

1

a

，
∴OB=

OC

tan∠OBC

=-

1

a· 3

=-

3

3a

，
∴梯形ABCD的面积=6×

1

2

×（-

3

3a

）×（-

1

a

）=

3

a2

．
解：（1）当a=-

1

2

，b=-

3

2

，t=2时，△ABC是直角三角形．理由如下：
由题意，得-

1

2

x²-

3

2

x+2=0，
解得x₁=1，x₂=-4，
∴A（-4，0），B（1，0），AB=5，
又∵C（0，2），OC⊥AB，
∴AC²=OA²+OC²=16+4=20，BC²=OB²+OC²=1+4=5，
∴AC²+BC²=20+5=25=AB²，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；

（2）∵△ABC为直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠COB=90°，∠OAC=∠OCB=90°-∠OCA，
∴△AOC∽△COB，
∴OA：OC=OC：OB，
∴OC²=OA·OB．
设抛物线y=ax²+bx十c与x轴的交点A的坐标为（x₁，0），B的坐标为（x₂，0），
则x₁·x₂=

c

a

=

t

a

，
∴t²=-x₁·x₂=-

t

a

，
解得t₁=-

1

a

，t₂=0（不合题意舍去），
故所求t的值为-

1

a

；

（3）如图，连接B′C、B′D．
∵点B关于y轴的对称点B′，
∴BC=B′C，
∵BB′=BC，
∴BB′=BC=B′C，
∴∠CBB′=∠BCB′=60°，
∴∠ACB′=∠ACB-∠BCB′=90°-60°=30°，
∴∠B′AC=∠CB′B-∠ACB′=60°-30°=30°，
∴∠ACB′=∠B′AC，
∴AB′=B′C=B′B，
∴B′为AB中点，B′在对称轴上．
易证△AB′D、△B′CD、△B′BC是全等的等边三角形，
∴梯形ABCD的面积=△B′BC面积的3倍=△OBC面积的6倍．
∵在Rt△OBC中，∠BOC=90°，∠OBC=60°，OC=t=-

1

a

，
∴OB=

OC

tan∠OBC

=-

1

a· 3

=-

3

3a

，
∴梯形ABCD的面积=6×

1

2

×（-

3

3a

）×（-

1

a

）=

3

a2

．