已知直线y=-frac{1}{2}x+2分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一个动点P由原点O向点A运动（与点A不重合），速度为每秒1个单位，过点P作x轴的垂线交直线AB于点...-青果题库-青果学院

题目：

已知直线y=-

1

2

x+2分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一个动点P由原点O向点A运动（与点A不重合），速度为每秒1个单位，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，以点C为顶点的抛物线y=-4（x+m）²+n与直线AB的另一交点为D，与x 青果学院

轴交于点E（点E在抛物线对称轴的右侧）．设点P运动时间为t秒．
（1）直接写出点A的坐标，并求t=1时抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，以C，P，E为顶点的三角形与AOB相似？
（3）①求CD的长；
②设△COD的OC边长的高为h，当t为何值时，h的值最大？

答案

解：（1）令y=0，则-

1

2

x+2=0，解得x=4，
所以，点A（4，0），
∵点P的运动速度是每秒1个单位，
∴t=1时，x=1，y=-

1

2

+2=

3

2

，
∴点C的坐标为（1，

3

2

），
∴抛物线解析式为y=-4（x-1）²+

3

2

；

（2）令x=0，则y=2，
所以，点B的坐标为（0，2），
∴OA=4，OB=2，
∵OP=t，
∴PC=-

1

2

t+2，
∴C（t，-

1

2

t+2），
∴y=-4（x-t）²-

1

2

t+2，
①PE与OA是对应边时，此时点E与点A重合，
∴-4（4-t）²-

1

2

t+2=0，
整理得，（t-4）（4t-16+

1

2

）=0，
解得t₁=4（为点C，舍去），t₂=

31

8

，
②PE与OB是对应边时，∵△PCE∽△OAB，
∴

PE

OB

=

CP

OA

，
即

PE

2

=

-

1

2

t+2

4

，
解得PE=-

1

4

t+1，
∴OE=t-

1

4

t+1=

3

4

t+1，点E的坐标为（

3

4

t+1，0），
∵点E在抛物线上，
∴-4（

3

4

t+1-t）²-

1

2

t+2=0，
整理得，（t-4）（t-2）=0，
解得t₁=4（为点C，舍去），t₂=2，
综上所述，当t=2或t=

31

8

时，以C，P，E为顶点的三角形与AOB相似；

（3）①联立

y=-

1

2

x+2

y=-4(x-t)2-

1

2

t+2

消掉y得，-4（x-t）²-

1

2

t+2=-

1

2

x+2，
整理得，（x-t）（-4x+4t+

1

2

）=0，
解得x₁=t，x₂=t+

1

8

，
则点D的横坐标为t+

1

8

，过点D作DH⊥PC于H，则DH=

1

8

，
∵PC⊥x轴，DH⊥PC，
∴△DCH∽△ABO，青果学院

∴

CD

AB

=

HD

AO

，
∵OA=4，OB=2，
∴AB=

OA2+OB2

=

42+22

=2

5

，
∴

CD

2

5

=

1

8

4

，
解得CD=

5

16

；
②过点O作OF⊥AB于F，过点F作FG⊥x轴于点G，
∵不论点P在何处，CD的长不变，
∴△ODC的面积也不变，
当OC长最小时，OC边上的高h最大，
∵S_△AOB=

1

2

×2

5

·OF=

1

2

×2×4，
∴OC=OF=

4

5

，
∵△OFG∽△BAO，
∴

OG

OB

=

OF

AB

，
即

OG

2

=

4

5

2

5

，
解得OG=

4

5

，
即t=

4

5

时，h的值最大．
解：（1）令y=0，则-

1

2