试题

题目：
青果学院如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值．若没有，请说明理由．
（4）若点M从B点以每秒
4
3
个单位沿BA方向向A点运动，同时，点N从C点以每秒
2
个单位向沿CB方向A点运动，问t当为何值时，以B，M，N为顶点的三角形与△OBC相似？
答案
解：（1）将A（1，0），B（-3，0）代y=-x2+bx+c中得
-1+b+c=0
-9-3b+c=0
，（2分）
∴
b=-2
c=3
，（3分）
∴抛物线解析式为：y=-x2-2x+3；（4分）
青果学院
（2）存在．（5分）
理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=-1对称，
∴直线BC与x=-1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小，
∵y=-x2-2x+3，
∴C的坐标为：（0，3），
直线BC解析式为：y=x+3，（6分）
x=-1时，y=-1+3=2，
∴点Q的坐标是Q（-1，2）；（7分）

（3）存在．（8分）青果学院
理由如下：如图，设P点（x，-x2-2x+3）（-3＜x＜0），
则PE=（-x2-2x+3）-（x+3）=-x2-3x，
∴S△BPC=
1
2
×PE×[x-（-3）]+
1
2
×PE×（0-x），
=
1
2
（x+3）（-x2-3x）+
1
2
（-x）（-x2-3x）
=-
3
2
（x2+3x），
=-
3
2
（x+
3
2
）2+
27
8
，
当x=-
3
2
时，△PBC的面积有最大值，最大值是
27
8
，
当x=-
3
2
时，-x2-2x+3=
15
4
，
∴点P坐标为（-
3
2
，
15
4
）；（11分）

（4）在Rt△OBC中，BC=
OB2+OC2
=
32+32
=3
2
，
运动t秒时，BM=
4
3
t，BN=3
2
-
2
t，
①∠BMN是直角时，∵△MBN∽△OBC，青果学院
∴
BM
OB
=
BN
BC
，
即
4
3
t
3
=
3
2
-
2
t 
3
2
，
解得t=
9
7
，
②∠BNM是直角时，∵△NBM∽△OBC，
∴
BM
BC
=
BN
OB
，
即
4
3
t
3
2
=
3
2
-
2
t
3
，
解得t=
9
5
，
综上所述，t为
9
7
或
9
5
时，以B，M，N为顶点的三角形与△OBC相似．
解：（1）将A（1，0），B（-3，0）代y=-x2+bx+c中得
-1+b+c=0
-9-3b+c=0
，（2分）
∴
b=-2
c=3
，（3分）
∴抛物线解析式为：y=-x2-2x+3；（4分）
青果学院
（2）存在．（5分）
理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=-1对称，
∴直线BC与x=-1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小，
∵y=-x2-2x+3，
∴C的坐标为：（0，3），
直线BC解析式为：y=x+3，（6分）
x=-1时，y=-1+3=2，
∴点Q的坐标是Q（-1，2）；（7分）

（3）存在．（8分）青果学院
理由如下：如图，设P点（x，-x2-2x+3）（-3＜x＜0），
则PE=（-x2-2x+3）-（x+3）=-x2-3x，
∴S△BPC=
1
2
×PE×[x-（-3）]+
1
2
×PE×（0-x），
=
1
2
（x+3）（-x2-3x）+
1
2
（-x）（-x2-3x）
=-
3
2
（x2+3x），
=-
3
2
（x+
3
2
）2+
27
8
，
当x=-
3
2
时，△PBC的面积有最大值，最大值是
27
8
，
当x=-
3
2
时，-x2-2x+3=
15
4
，
∴点P坐标为（-
3
2
，
15
4
）；（11分）

（4）在Rt△OBC中，BC=
OB2+OC2
=
32+32
=3
2
，
运动t秒时，BM=
4
3
t，BN=3
2
-
2
t，
①∠BMN是直角时，∵△MBN∽△OBC，青果学院
∴
BM
OB
=
BN
BC
，
即
4
3
t
3
=
3
2
-
2
t 
3
2
，
解得t=
9
7
，
②∠BNM是直角时，∵△NBM∽△OBC，
∴
BM
BC
=
BN
OB
，
即
4
3
t
3
2
=
3
2
-
2
t
3
，
解得t=
9
5
，
综上所述，t为
9
7
或
9
5
时，以B，M，N为顶点的三角形与△OBC相似．
考点梳理
二次函数综合题．
（1）根据待定系数法求函数解析式的方法，将点A、B代入函数解析式，列出方程组即可求得b、c的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）根据题意可知，边AC的长是定值，要想△QAC的周长最小，即是AQ+CQ最小，所以此题的关键是确定点Q的位置，找到点A关于对称轴的对称点B，利用待定系数法求出直线BC的解析式，直线BC与对称轴的交点即是所求的点Q；
（3）存在，根据二次函数解析式设得点P的坐标，将△BCP的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点P的坐标；
（4）分别表示出BM、BN的长度，然后分①∠BMN是直角，②∠BNM是直角两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．
此题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值问题，相似三角形的对应边成比例的性质，注意要分情况讨论求解，要注意数形结合思想的应用．
综合题；压轴题．
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