试题

已知：正方形OABC的边OC、OA分别在x、y轴的正半轴上，设点B（4，4），点P（t，0）是x轴上一动点，过点O作OH⊥AP于点H，直线OH交直线BC于点D，连AD．
（1）如图1，当点P在线段OC上时，求证：OP=CD；
（2）在点P运动过程中，△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似时，求t的值；
（3）如图2，抛物线y=-

1

6

x²+

2

3

x+4上是否存在点Q，使得以P、D、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

（1）证明：∵OD⊥AH，
∴∠OAP=∠DAC=90°-∠AOD；
正方形OABC中，OA=OC=4，∠AOP=∠OCD=90°，即：
∵

OA=OC ∠OAP=∠COD ∠AOP=∠OCD

，
∴△AOP≌△OCD
∴OP=CD．

（2）解：①点P在x轴负半轴上时，P（t，0），且t＜0，如图①；
∵在Rt△AOP中，OH⊥AP，
∴∠POH=∠PAO=90°-∠APO；
又∵∠POH=∠COD，
∴∠COD=∠PAO；
在△AOP与△OCD中，
∵

OA=OC ∠PAO=∠COD ∠AOP=∠OCD

，
∴△AOP≌△OCD；
∴OP=CD=-t，则：BD=BC+CD=4-t；
若△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似，则有：

OP

AB

=

OA

BD

，得：

-t

4

=

4

4-t

解得：t=2-2

5

或t=2+2

5

（正值舍去）；
②当点P在线段OC上时，P（t，0），0＜t≤4，如图②；
因为OP＜OA、BD＜AB、OA=AB，
若△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似，那么有：

OP

OA

=

BD

AB

，所以OP=BD，即：
t=4-t，t=2；
③当点P在点C右侧时，P（t，0），t＞4，如图③；
同①可求得t=2+2

5

；
综上，t₁=2，t₂=2+2

5

，t₃=2-2

5

．

（3）解：假设存在符合条件的点Q，分两种情况讨论：
①PC为平行四边形的对角线，则QP∥CD，且QP=CD；
若P（t，0）、D（4，t），则Q（t，-t），代入抛物线y=-

1

6

x²+

2

3

x+4中，得：
-

1

6

t²+

2

3

t+4=-t，即：t²-10t-24=0，
解得：t₁=-2，t₂=12；
②PC为平行四边形的边，则DQ∥PC，且AD=PC；
若P（t，0）、D（4，t），则 PC=QD=|t-4|，Q（t，t）或（8-t，t）；
Q（t，t）时，t=-

1

6

t²+

2

3

t+4，即：t²+2t-24=0，
解得 t₁=4（舍）、t₂=-6；
Q（8-t，t）时，t=-

1

6

（8-t）²+

2

3

（8-t）+4，即：t²-6t+8=0，
解得 t₁=4（舍）、t₂=2．
综上可知，t₁=2，t₂=12，t₃=-6，t₄=-2．
∴存在点Q，使得以P、D、Q、C为顶点的四边形为平行四边形．
（1）证明：∵OD⊥AH，
∴∠OAP=∠DAC=90°-∠AOD；
正方形OABC中，OA=OC=4，∠AOP=∠OCD=90°，即：
∵

OA=OC ∠OAP=∠COD ∠AOP=∠OCD

，
∴△AOP≌△OCD
∴OP=CD．

（2）解：①点P在x轴负半轴上时，P（t，0），且t＜0，如图①；
∵在Rt△AOP中，OH⊥AP，
∴∠POH=∠PAO=90°-∠APO；
又∵∠POH=∠COD，
∴∠COD=∠PAO；
在△AOP与△OCD中，
∵

OA=OC ∠PAO=∠COD ∠AOP=∠OCD

，
∴△AOP≌△OCD；
∴OP=CD=-t，则：BD=BC+CD=4-t；
若△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似，则有：

OP

AB

=

OA

BD

，得：

-t

4

=

4

4-t

解得：t=2-2

5

或t=2+2

5

（正值舍去）；
②当点P在线段OC上时，P（t，0），0＜t≤4，如图②；
因为OP＜OA、BD＜AB、OA=AB，
若△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似，那么有：

OP

OA

=

BD

AB

，所以OP=BD，即：
t=4-t，t=2；
③当点P在点C右侧时，P（t，0），t＞4，如图③；
同①可求得t=2+2

5

；
综上，t₁=2，t₂=2+2

5

，t₃=2-2

5

．

（3）解：假设存在符合条件的点Q，分两种情况讨论：
①PC为平行四边形的对角线，则QP∥CD，且QP=CD；
若P（t，0）、D（4，t），则Q（t，-t），代入抛物线y=-

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x²+

2

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x+4中，得：
-

1

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t²+

2

3

t+4=-t，即：t²-10t-24=0，
解得：t₁=-2，t₂=12；
②PC为平行四边形的边，则DQ∥PC，且AD=PC；
若P（t，0）、D（4，t），则 PC=QD=|t-4|，Q（t，t）或（8-t，t）；
Q（t，t）时，t=-

1

6

t²+

2

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t+4，即：t²+2t-24=0，
解得 t₁=4（舍）、t₂=-6；
Q（8-t，t）时，t=-

1

6

（8-t）²+

2

3

（8-t）+4，即：t²-6t+8=0，
解得 t₁=4（舍）、t₂=2．
综上可知，t₁=2，t₂=12，t₃=-6，t₄=-2．
∴存在点Q，使得以P、D、Q、C为顶点的四边形为平行四边形．