试题

直线y=-x-3经过点C（1，m），并与坐标轴交于A、B两点，过B、C两点的抛物线y=x²+bx+c与x轴的负半轴交于D点，
（1）求点C的坐标及抛物线的解析式；
（2）抛物线y=x²+bx+c的对称轴为直线MN，直线MN与x轴相交于点F，直线MN上有一动点P，过P作直线PE⊥AB，垂足为E，直线PE与x轴相交于点H
①当P点在直线MN上移动时，是否存在这样的P点，使以A、P、H为顶点的三角形与△FBC相似？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；
②若⊙I始终过A、P、E三点，当P点在MN上运动时，圆心I在上运动．（先作选择，再说明理由） 
A．一个圆　　 B．一个反比例函数图象　　C．一条直线　　D．一条抛物线

解：（1）由直线y=-x-3知：A（-3，0）、B（0，-3）；
当x=1时，y=-x-3=-4，即 C（1，-4）．
将B（0，-3）、C（1，-4）代入y=x²+bx+c中，得：

c=-3 1+b+c=-4

，解得

b=-2 c=-3

∴抛物线的解析式：y=x²-2x-3．

（2）①由点A（-3，0）、C（1，-4）得：AF=CF=4，即△AFC是等腰直角三角形，∠FCB=45°；
1、当点P在x轴下方时，∠AHP=∠FCB=90°-∠HAC=45°；
在Rt△FPH中，设FH=FP=x，则PH=

2

x，AH=AF+FH=4+x；
由B（0，-3）、C（1，-4）知：BC=

2

，CF=4；
若△APH∽△HBC，那么

PH

BC

=

AH

CF

，则有：

2 x

2

=

4+x

4

解得：x=

4

3

，即 P（1，-

4

3

）；
2、当点P在x轴上方时，如右图；
∠AHP=∠FCB=90°-∠EAH=90°-∠FAC=45°；
设FP=x，则 FH=FP=x，AH=FH-AF=x-4，PH=

2

x；
同1可得：

PH

CF

=

AH

BC

，有：

2 x

4

=

x-4

2

解得：x=8，即 P（1，8）；
综上，点P的坐标为（1，-

4

3

）或（1，8）．
②Rt△APE的外接圆圆心为斜边AP的中点I，取AF的中点Q，那么IQ为△AFP的中位线，
∴IQ∥MN，即IQ∥y轴；
∵点Q（-1，0），∴无论点P如何运动，点I始终在直线x=-1上．
故选C．