试题

已知：m，n是方程x²-6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=-x²+bx+c的图象经过点B（m，0），A（0，n）
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，顶点为D，求出C，D的坐标和△ACD的面积；
（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，交AC于F点，如直线AC把△PCH分成面积1：3的两部分，请求出P点的坐标．

解：（1）解方程x²-6x+5=0，
得x₁=5，x₂=1，
由m＜n，有m=1，n=5，
∴点A、B的坐标分别为A（0，5），B（1，0），
将A（0，5），B（1，0）的坐标分别代入y=-x²+bx+c．
得

-1+b+c=0 c=5

，
解这个方程组，得

b=-4 c=5

，
∴抛物线的解析式为y=-x²-4x+5；

（2）由y=-x²-4x+5，令y=0，得-x²-4x+5=0，
解这个方程，得x₁=-5，x₂=1，
∴C点的坐标为（-5，0）．
由顶点坐标公式计算，得点D（-2，9）．
过D作x轴的垂线交x轴于M．
则S_△DMC=

1

2

×9×（5-2）=

27

2

，
S_梯形MDAO=

1

2

×2×（9+5）=14，
S_△AOC=

1

2

×5×5=

25

2

∴S_△ACD=S_梯形MDAO+S_△DMC-S_△AOC=14+

27

2

-

25

2

=15．

（3）设P点的坐标为（a，0）
∵线段AC过A、C两点，
∴AC所在的直线方程为y=x+5．
∴PH与直线AC的交点坐标为E（a，a+5），
PH与抛物线y=-x²-4x+5的交点坐标为H（a，-a²-4a+5）．
由题意，得①EH=

3

2

EP，
即（-a²-4a+5）-（a+5）=

3

2

（a+5），
解这个方程，得a=-

3

2

或a=-5（舍去）
②EH=

2

3

EP，即（-a²-4a+5）-（a+5）=

2

3

（a+5），
解这个方程，得a=-

2

3

或a=-5（舍去）
P点的坐标为（-

3

2

，0）或（-

2

3

，0）．
解：（1）解方程x²-6x+5=0，
得x₁=5，x₂=1，
由m＜n，有m=1，n=5，
∴点A、B的坐标分别为A（0，5），B（1，0），
将A（0，5），B（1，0）的坐标分别代入y=-x²+bx+c．
得

-1+b+c=0 c=5

，
解这个方程组，得

b=-4 c=5

，
∴抛物线的解析式为y=-x²-4x+5；

（2）由y=-x²-4x+5，令y=0，得-x²-4x+5=0，
解这个方程，得x₁=-5，x₂=1，
∴C点的坐标为（-5，0）．
由顶点坐标公式计算，得点D（-2，9）．
过D作x轴的垂线交x轴于M．
则S_△DMC=

1

2

×9×（5-2）=

27

2

，
S_梯形MDAO=

1

2

×2×（9+5）=14，
S_△AOC=

1

2

×5×5=

25

2

∴S_△ACD=S_梯形MDAO+S_△DMC-S_△AOC=14+

27

2

-

25

2

=15．

（3）设P点的坐标为（a，0）
∵线段AC过A、C两点，
∴AC所在的直线方程为y=x+5．
∴PH与直线AC的交点坐标为E（a，a+5），
PH与抛物线y=-x²-4x+5的交点坐标为H（a，-a²-4a+5）．
由题意，得①EH=

3

2

EP，
即（-a²-4a+5）-（a+5）=

3

2

（a+5），
解这个方程，得a=-

3

2

或a=-5（舍去）
②EH=

2

3

EP，即（-a²-4a+5）-（a+5）=

2

3

（a+5），
解这个方程，得a=-

2

3

或a=-5（舍去）
P点的坐标为（-

3

2

，0）或（-

2

3

，0）．