试题

如图，已知正方形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，抛物线y=-

2

3

x²+bx+c经过点A，B，交正x轴于点D，E是OC上的动点（不与C重合）连接EB，过B点作BF⊥BE交y轴与F
（1）求b，c的值及D点的坐标；
（2）求点E在OC上运动时，四边形OEBF的面积有怎样的规律性？并证明你的结论；
（3）连接EF，BD，设OE=m，△BEF与△BED的面积之差为S，问：当m为何值时S最小，并求出这个最小值．

解：（1）把点A（0，2）、B（2，2）代入抛物线y=-

2

3

x²+bx+c得

c=2 - 8 3 +2b+c=2

解得b=

4

3

，c=2；
∴y=-

2

3

x²+

4

3

x+2；
令-

2

3

x²+

4

3

x+2=0
解得x₁=-1，x₂=3
∴D点坐标为（3，0）．
（2）点E在OC上运动时，四边形OEBF的面积不变；
∵四边形OABC是正方形
∴AB=BC，∠BCE=∠BAE=∠ABC=90°
又∵BF⊥BE
∴∠FBE=90°
∴∠ABF=∠CBE
∴△ABF≌△BCE
∴四边形OEBF的面积始终等于正方形OABC的面积．
（3）如图，

可以看出S_△BEF=S_梯形OCBF-S_△OEF-S_△BEC
=

1

2

（2+2+m）×2-

1

2

m（2+m）-

1

2

（2-m）×2
=-

1

2

m²+m+2
S_△BED=

1

2

×（3-m）×2
=3-m
两个三角形的面积差最小为0，
即3-m=-

1

2

m²+m+，
解得m=2±

2

，
∵E是OC上的动点
∴m=2-

2

，
当m=2-

2

时S最小为0．
解：（1）把点A（0，2）、B（2，2）代入抛物线y=-

2

3

x²+bx+c得

c=2 - 8 3 +2b+c=2

解得b=

4

3

，c=2；
∴y=-

2

3

x²+

4

3

x+2；
令-

2

3

x²+

4

3

x+2=0
解得x₁=-1，x₂=3
∴D点坐标为（3，0）．
（2）点E在OC上运动时，四边形OEBF的面积不变；
∵四边形OABC是正方形
∴AB=BC，∠BCE=∠BAE=∠ABC=90°
又∵BF⊥BE
∴∠FBE=90°
∴∠ABF=∠CBE
∴△ABF≌△BCE
∴四边形OEBF的面积始终等于正方形OABC的面积．
（3）如图，

可以看出S_△BEF=S_梯形OCBF-S_△OEF-S_△BEC
=

1

2

（2+2+m）×2-

1

2

m（2+m）-

1

2

（2-m）×2
=-

1

2

m²+m+2
S_△BED=

1

2

×（3-m）×2
=3-m
两个三角形的面积差最小为0，
即3-m=-

1

2

m²+m+，
解得m=2±

2

，
∵E是OC上的动点
∴m=2-

2

，
当m=2-

2

时S最小为0．